Έστω {α_ν} μια ακολουθία στον Rⁿ. Θα λέμε ότι η {α_ν} συγκλίνει στο αRⁿ αν η ακολουθία των πραγματικών αριθμών

συγκλίνει στο 0. Το α θα λέγεται όριο της {α_ν} και θα συμβολίζεται με

Εδώ με || ||₂ εννοούμε την νόρμα του χώρου Rⁿ η οποία δίνεται από την σχέση

Όπως και στην περίπτωση του R, εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε τα παρακάτω.

Θεώρημα: Αν μια ακολουθία συγκλίνει ως προς μια νόρμα του Rⁿ , τότε συγκλίνει ως προς οποιαδήποτε άλλη.

Αν α = limα_ν , β = limβ_ν και c, dR τότε

1. lim(c α_ν+dβ_ν) = cα + dβ

2. lim ||α_ν|| = ||α||

3. limα_ν· β_ν = α· β

Θεώρημα: Η {α_ν} συγκλίνει στο αRⁿ αν και μόνο αν

                                     [Υπόδειξη] [Λύση]

2. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν σταθερές α, β τ.ω.

όπου για

έχουμε

    [Υπόδειξη] [Λύση]

[Περιεχόμενα]