Έστω URⁿ ένα ανοικτό σύνολο, F: U ® Rⁿ ένα διανυσματικό πεδίο ( συντ. δ.π.) και C : [a, b] ® Rⁿ μια καμπύλη στο U με συνεχή πρώτη παράγωγο. Το (επικαμπύλιο) ολοκλήρωμα του δ.π. F πάνω στην C ορίζεται ως ακολούθως

Έστω C_i : [a_i, a_i+1] ® U, i = 1,2,...,n, ένας πεπερασμένος αριθμός από καμπύλες με συνεχή πρώτη παράγωγο τ.ω. το τελικό σημείο της C_i να είναι το ίδιο με το αρχικό σημείο της C_i+1. H απεικόνιση C : [a₁, a_n+1] ® U θα λέγεται μονοπάτι. Ένα μονοπάτι θα λέγεται κλειστό αν C(a₁) = C(a_n+1).

Έστω C ένα μονοπάτι. Η απεικόνιση C^- : [a, b] ® U με C^-(t) = C(a+b-t) θα λέγεται αντίστροφο μονοπάτι του C.

To oλοκλήρωμα του δ.π. F πάνω σε ένα μονοπάτι C : [a₁, a_n+1] ® U είναι το

Θεώρημα 1: Έστω F: U ® Rⁿ ένα διανυσματικό πεδίο και C : [a, b] ® Rⁿ μια καμπύλη στο U. Τότε

Θεώρημα 2: Έστω ότι η f είναι μια συνάρτηση δυναμικού του δ.π. F στο U

( δηλαδή gradf = F) και C : [a, b] ® U ένα μονοπάτι με Α = C(a), B = C(b). Τότε

Παρατήρηση: Αν το μονοπάτι είναι κλειστό τότε

Πόρισμα 1: Έστω ότι υπάρχει ένα κλειστό μονοπάτι C τ.ω.

Τότε το δ.π. F δεν έχει συνάρτηση δυναμικού στο U.

Πόρισμα 2: Έστω ότι η F έχει συνάρτηση δυναμικού στο U και C₁, C₂ : [a, b] ® U δυο μονοπάτια στο U με C₁(a) = C₂(a), C₁(b) = C₂(b). Tότε

Τώρα θα δούμε το αντίστροφο του θεωρήματος 2.

Θεώρημα 3: Έστω U ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο, Α, Β σημεία του U και

F : U ® Rⁿ ένα δ.π.. Αν το ολοκλήρωμα

είναι ανεξάρτητο του μονοπατιού που ενώνει τα Α, Β, τότε το δ.π. F έχει συνάρτηση δυναμικού στο U.

Θεώρημα 4: Έστω U ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο, Α, Β σημεία του U και

F : U ® Rⁿ ένα δ.π.. Αν το ολοκλήρωμα

είναι ίσο με το μηδέν πάνω σε κάθε κλειστό μονοπάτι στο U, τότε το δ.π. F έχει συνάρτηση δυναμικού στο U.

Το παραπάνω θεώρημα εγγυάται την ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού για ένα δ.π.. Όμως δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμο επειδή είναι αδύνατο να ελέγξουμε την συμπεριφορά του επικαμπύλιου ολοκληρώματος πάνω σε κάθε κλειστό μονοπάτι.

Το θεώρημα που ακολουθεί εξασφαλίζει την ύπαρξη συνάρτησης δυναμικού ελέγχοντας μόνο ένα μονοπάτι.

Θεώρημα 5: Έστω F : R² \ {0} ® R² ένα δ.π., F = (f, g), με

Έστω επίσης C ο κύκλος με κέντρο την αρχή και ακτίνα 1. Τοτε

(α) Αν

το δ.π. F έχει συνάρτηση δυναμικού.

(β) Έστω

τότε υπάρχει συνάρτηση φ τ.ω.

                                                          F = ψG + gradφ

1. Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του δ.π. F(x, y) = (xy, 2xy)

    πάνω στην καμπύλη C(t) = (1, t), t στο [0, 1]. [Λύση]

2. Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του δ.π. F(x, y) = (2xy³ , 3x²y² )

    πάνω στην καμπύλη C(t) = (1, t), t στο [0, 1]. [Υπόδειξη] [Λύση]

    συνάρτηση δυναμικού στο R² \ {0}; [Υπόδειξη] [Λύση]

4. Υποθέτουμε ότι η C έχει μήκος α και ||F|| £ Α. Να δειχθεί ότι

[Περιεχόμενα]