Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 1   Αν $\alpha \in \mathbb R$ και $\epsilon >0$ ονομάζουμε $\epsilon$-περιοχή του $\alpha$ ή περιοχή κέντρου $\alpha$ και ακτίνας $\epsilon$ και συμβολίζουμε $N_{\alpha}(\epsilon)$ το σύνολο όλων των αριθμών που έχουν απόσταση από το $\alpha$ μικρότερη από $\epsilon$. Δηλαδή

$$N_{\alpha}(\epsilon) = \{ x \in \mathbb R\ \vert \ \vert x-\alpha\vert < \epsilon \} = (\alpha -\epsilon, \alpha +\epsilon)$$

Είναι φανερό ότι αν $0<\epsilon_1 < \epsilon_2 \Longrightarrow N_\alpha (\epsilon_1)\subseteq N _\alpha (\epsilon_2).$

Ορισμός 2   Ένα υποσύνολο $A$ του $\mathbb R$ λέγεται ανοικτό αν για οποιοδήποτε σημείο $x$ του $A$ υπάρχει κάποια περιοχή $N_x$ του $x$ που περιέχεται στο $A.$ Δηλαδή, για κάθε $x\in A$ υπάρχει $\epsilon=\epsilon(x)>0$ ώστε $N_x(\epsilon) \subseteq A.$

Ορισμός 3   Ένα υποσύνολο $A$ του $\mathbb R$ θα το λέμε κλειστό αν έχει την εξής ιδιότητα: αν $\{x_n\}$ είναι οποιαδήποτε ακολουθία που κάθε όρος της ανήκει στο $A$ (λέμε τότε: η $\{x_n\}$ είναι στο $A$) και που συγκλίνει σε κάποιο $x$, τότε το όριό της $x$ ανήκει και αυτό στο $A.$

Τα ανοικτά διαστήματα $(α, b)$ είναι ανοικτά σύνολα ενώ τα κλειστά διαστήματα $[a, b]$ κλειστά σύνολα. Υπάρχουν και σύνολα που είναι ανοικτά και κλειστά όπως το $(-\infty,+\infty)=\mathbb R.$

Θεώρημα 4   Ένα υποσύνολο $A$ του $\mathbb R$ είναι ανοικτό αν και μόνο αν το συμπληρωμά του είναι κλειστό.

Η ένωση ανοικτών συνόλων δίνει ανοικτό σύνολο. Η τομή κλειστών συνόλων δίνει κλειστό σύνολο. Η ένωση πεπερασμένου πλήθους κλειστών συνόλων δίνει κλειστό σύνολο και η τομή πεπερασμένου πλήθους ανοικτών συνόλων δίνει ανοικτό σύνολο.

Ορισμός 5   Έστω $A \subseteq \mathbb R$ και $x$ σημείο του $A$. Το $x$ λέγεται εσωτερικό σημείο του $A$ αν υπάρχει περιοχή $N_x$ που περιέχεται στο $A$. Το σύνολο που έχει σαν στοιχεία του όλα τα εσωτερικά σημεία του $A$ (και μόνο αυτά) λέγεται εσωτερικό του $A$ και γράφεται $\o {A}.$ Προφανώς $\o {A} \subseteq A$ και $A$ ανοικτό αν και μόνο αν $\o {A}=A.$ Το $\o {A}$ είναι το μεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο $A$.

Ορισμός 6   Έστω $A \subseteq \mathbb R \ , \ x \in \mathbb R.$ Το $x$ λέγεται σημείο επαφής του $A$ αν υπάρχει ακολουθία $\{x_n\}$ στο $A$ ώστε $x_n \longrightarrow x.$ Το σύνολο που έχει σαν στοιχεία όλα τα σημεία επαφής του $A$ (και μόνο αυτά) λέγεται κλειστή θήκη του $A$ και γράφεται $\overline{A}.$

Φανερά $A\subseteq \overline{A}$ και $A$ κλειστό αν και μόνο αν $A=\overline{A}.$ Το $x$ είναι σημείο επαφής του $A$ αν και μόνο αν κάθε περιοχή $N_x$ του $x$ περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο του $A.$ To $\overline{A}$ είναι το μικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το $A.$

Ορισμός 7   Αν $A\subseteq \mathbb R \ , \ x\in \mathbb R \ , \$ το $x$ λέγεται συνοριακό σημείο του $A$ αν κάθε περιοχή $N_x$ περιέχει και σημείο του $A$ και σημείο του $A^c.$ Το σύνολο που περιέχει όλα τα συνοριακά σημεία του $A$ (και μόνο αυτά) λέγεται σύνορο του $A$ και γράφεται $\partial A.$

Θεώρημα 8   Έστω $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα (α)    Η $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb R$
(β)     Για κάθε ανοικτό $A \subseteq \mathbb R$ το $f^{-1}(A)$ είναι ανοικτό υποσύνολο του $\mathbb R$
(γ)    Για κάθε κλειστό $A \subseteq \mathbb R$ το $f^{-1}(A)$ είναι κλειστό υποσύνολο του $\mathbb R$