Λύση

(α)    Το $\overline{A}$ είναι κλειστό, άρα ταυτίζεται με την κλειστή του θήκη: $\overline{\overline{A}}=\overline{A}$. Έχουμε $(A^\prime)^\prime \subseteq \overline{A^\prime}$ και από το $\alpha$ το $A^\prime$ είναι κλειστό. Άρα, $(A^\prime)^\prime \subseteq A\prime$. Δεν ισχύει πάντα ισότητα: Αν $A=\{\frac{1}{n}:n \in \mathbb N \}, \hbox{τότε} A^\prime ={0} \hbox{και} (A^\prime)^\prime=\emptyset$.

(β)     Για κάθε $i \in I \hbox{είναι} \bigcap_{i \in I} A_i \subseteq A_i \rightarrow \overline{\bigcap _{i\in I}A_i} \subseteq \overline{A_i}$. Άρα, $\overline{\bigcap _{i\in I}A_i} \subseteq \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}$. Άν $A=(0, 1), B=(1, 2), \ \hbox{τότε}\ \overline{A} =[0, 1]\ ,\ \overline{B}=[1, 2] \ \hbox{άρα} \ \overline{A} \cap \overline{B} = \{ 1 \}$, ενώ $A\cap B =\emptyset \rightarrow \overline{A\cap B} =\emptyset$.

(γ)    Το $\ring Α$ είναι ανοικτό, άρα ταυτίζεται με το εσωτερικό του.

Άσκηση 7 Υπόδειξη