Λύση

Έχουμε

$$x \in \partial A \Leftrightarrow \forall \ \varepsilon >0 \ N_x (\varepsilon ) \cap A \neq \emptyset \ \hbox{και}\ N_x(\varepsilon ) \cap A^c \neq \emptyset$$ (1.1)

$$\Leftrightarrow x \in \overline{A} \ \hbox{και}\ x\in \overline{A^c}$$ (1.2)

$$\Leftrightarrow x \in \overline{A} \cap \overline{A^c}$$ (1.3)

Δηλαδή, $\partial A=\overline{A} \cap \overline{A^c}$. Επίσης, $\overline{A} \setminus \ring{A} = \overline{A} \cap (\ring{A} )^c = \overline{A} \cap \overline{A^c}$ (από την προηγούμενη άσκηση με $A$ αντί του $A^c$, $\ring{A} =(\overline A^c)^c$ δηλαδή $(\ring{A})^c = \overline{A^c}$ ). Άρα, $\partial A = \overline{A} \setminus \ring{A}$. Τέλος, $\partial (A^c)=\overline{A^c}\cap \overline(A^c)^c = \overline{A^c}\cap \overline{A} = \partial A$. Άσκηση 8 Υπόδειξη