Λύση

Έστω ότι τέτοιος πίνακας $B$ υπάρχει. Τότε $B^2=A$ και $B^{2n}=A^n=0$ άρα ο $B$ είναι μηδενοδύναμος. Από προηγούμενα αποτελέσματα έχουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $B$ είναι το $x^n$ και από το Θεώρημα Cayley - Hamilton έχουμε ότι $B^n=0$. Αν τώρα ο $n$ είναι άρτιος, δηλαδή $n=2k$ τότε $(B^2)^k=0$ το οποίο συνεπάγεται ότι $A^k=0$ άτοπο γιατί $k<n$ και από υπόθεση $A^{n-1}\neq 0$. Αν ο $n$ είναι περιττός, $n=2k+1$ τότε $A^{k+1}=B^{2k+2}=B^{n+1}=0$ και $k+1<n$, το οποίο είναι άτοπο από την υπόθεση. Άρα δεν υπάρχει πίνακας $B$ ώστε $B^2=A$.