Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός μηδενοδύναμου $5\times 5$ πίνακα είναι το $x^5$. Άρα οι πιθανοί στοιχειώδεις διαιρέτες και οι αντίστοιχοι πίνακες είναι οι εξής

.

$x^5$, $\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

.

$x^4$, $x$, $\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

.

$x^3$, $x^2$, $\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

.

$x^3$, $x$, $x$, $\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

.

$x^2$, $x^2$, $x$, $\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

.

$x^2$, $x$, $x$, $x$, $\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

.

$x$, $x$, $x$, $x$, $x$, $\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$