Next: Άσκηση 33
Up: Δυϊκοί Χώροι
Previous: Δυϊκοί Χώροι
Ορισμός 11
Έστω
![$V$](img1.gif)
διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα
![$K$](img123.gif)
.
Το σύνολο όλων των
γραμμικών απεικονίσεων από το
![$V$](img1.gif)
στο
![$K$](img123.gif)
,
![${\cal L}(V,K)$](img363.gif)
συμβολίζεται
με
![$V^*$](img364.gif)
και καλείται δυϊκός χώρος του
![$V$](img1.gif)
.
Τα στοιχεία του
![$V^*$](img364.gif)
λέγονται
γραμμικές μορφές επάνω στο
![$V$](img1.gif)
.
Πρόταση 5
Aν
![${\cal B}=\{ a_1,\ldots ,a_n\}$](img365.gif)
είναι μια διατεταγμένη βάση του διανυσματικού
χώρου
![$V$](img1.gif)
τότε υπάρχει μια μονοσήμαντα ορισμένη διατεταγμένη βάση του
![$V^*$](img364.gif)
έστω
![${\cal B}'=\{T_{a_1},\ldots ,T_{a_n}\}$](img366.gif)
τέτοια ώστε
![$T_{a_i}(a_j)=\delta _{ij}.$](img367.gif)
Πόρισμα 5
Oι διανυσματικοί χώροι
![$V$](img1.gif)
και
![$V^*$](img364.gif)
έχουν την ίδια διάσταση και για κάθε
![$v\in V$](img368.gif)
με
![$v\neq 0$](img7.gif)
υπάρχει
![$F\in V^*$](img369.gif)
τέτοια ώστε
![$F(v)\neq 0$](img370.gif)
.
Θεώρημα 18
Έστω
![$V^{**}={\cal L}(V^*,K)$](img371.gif)
και ορίζω
![$\iota :V\rightarrow V^{**}$](img372.gif)
με
![$\iota (v)=\iota _v$](img373.gif)
να είναι η γραμμική απεικόνιση
![$\iota _{v}:V^*\rightarrow K$](img374.gif)
η οποία απεικονίζει
το
![$F\in V^*$](img369.gif)
στο
![$F(v)\in K$](img375.gif)
.
Η απεικόνιση
![$\iota $](img376.gif)
είναι ισομορφισμός.
Ορισμός 12
Έστω
![$V$](img1.gif)
διανυσματικός χώρος και
![$M$](img97.gif)
υπόχωρος του
![$V$](img1.gif)
.
Το σύνολο
![$M^{\circ}=\{ F \mid F\in V^*, F(a)=0\ \forall\ a\in M\}$](img377.gif)
λέγεται
μηδενιστής του
![$M$](img97.gif)
.
Πρόταση 6
O μηδενιστής
![$M^{\circ}$](img378.gif)
ενός διανυσματικού υπόχωρου
![$M\le V$](img379.gif)
είναι
διανυσματικός υπόχωρος.
Θεώρημα 20
Αν
![$F\in{\cal L}(V,V^*)$](img387.gif)
και
![$A,B$](img388.gif)
οι πίνακες τις
![$F$](img389.gif)
ως προς δύο
διαφορετικές βάσεις του
![$V$](img1.gif)
τότε υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας
![$S$](img390.gif)
τέτοιος
ώστε
![$B=S^tAS$](img391.gif)
.
Σε αυτή την περίπτωση οι πίνακες
![$A$](img4.gif)
και
![$B$](img31.gif)
λέγονται
ισότιμοι.
Vassilis Metaftsis
1999-09-15