Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 11   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $K$. Το σύνολο όλων των γραμμικών απεικονίσεων από το $V$ στο $K$, ${\cal L}(V,K)$ συμβολίζεται με $V^*$ και καλείται δυϊκός χώρος του $V$. Τα στοιχεία του $V^*$ λέγονται γραμμικές μορφές επάνω στο $V$.

Πρόταση 5   Aν ${\cal B}=\{ a_1,\ldots ,a_n\}$ είναι μια διατεταγμένη βάση του διανυσματικού χώρου $V$ τότε υπάρχει μια μονοσήμαντα ορισμένη διατεταγμένη βάση του $V^*$ έστω ${\cal B}'=\{T_{a_1},\ldots ,T_{a_n}\}$ τέτοια ώστε $T_{a_i}(a_j)=\delta _{ij}.$

Πόρισμα 5   Oι διανυσματικοί χώροι $V$ και $V^*$ έχουν την ίδια διάσταση και για κάθε $v\in V$ με $v\neq 0$ υπάρχει $F\in V^*$ τέτοια ώστε $F(v)\neq 0$.

Θεώρημα 18   Έστω $V^{**}={\cal L}(V^*,K)$ και ορίζω $\iota :V\rightarrow V^{**}$ με $\iota (v)=\iota _v$ να είναι η γραμμική απεικόνιση $\iota _{v}:V^*\rightarrow K$ η οποία απεικονίζει το $F\in V^*$ στο $F(v)\in K$. Η απεικόνιση $\iota$ είναι ισομορφισμός.

Ορισμός 12   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος και $M$ υπόχωρος του $V$. Το σύνολο $M^{\circ}=\{ F \mid F\in V^*, F(a)=0\ \forall\ a\in M\}$ λέγεται μηδενιστής του $M$.

Πρόταση 6   O μηδενιστής $M^{\circ}$ ενός διανυσματικού υπόχωρου $M\le V$ είναι διανυσματικός υπόχωρος.

Θεώρημα 19   H απεικόνιση που πηγαίνει κάθε υπόχωρο $M$ ενός διανυσματικού χώρου $V$ στον μηδενιστή του είναι 1-1, επί και έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

.

dim$M^{\circ}=$dim$V-$dim$M$.

.

$M^{\circ\circ}=M$.

.

$M\le N$ αν και μόνο αν $M^{\circ}\ge N^{\circ}$.

.

$(M+N)^{\circ}=M^{\circ}+N^{\circ}$.

.

$(M\cap N)^{\circ}=M^{\circ}+N^{\circ}$.

Θεώρημα 20   Αν $F\in{\cal L}(V,V^*)$ και $A,B$ οι πίνακες τις $F$ ως προς δύο διαφορετικές βάσεις του $V$ τότε υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $S$ τέτοιος ώστε $B=S^tAS$. Σε αυτή την περίπτωση οι πίνακες $A$ και $B$ λέγονται ισότιμοι.