Λύση

Υποθέτω ότι $f_1=(x,y,z)$. Τότε

$$1=T_{e_1}(e_1)=T_{e_1}(1,0,0)=1T_{e_1}(e_1)+0T_{e_1}(e_2)+0T_{e_1}(e_3),$$

$$0=T_{e_1}(e_2)=T_{e_1}(0,1,0)=0T_{e_1}(e_1)+1T_{e_1}(e_2)+0T_{e_1}(e_3),$$

$$0=T_{e_1}(e_3)=T_{e_1}(0,0,1)=0T_{e_1}(e_1)+0T_{e_1}(e_2)+1T_{e_1}(e_3).$$

Άρα $T_{e_1}(x,y,z)=(x,0,0)$. Όμοια, $T_{e_2}(x,y,z)=(0,y,0)$ και $T_{e_3}(x,y,z)=(0,0,z)$. Συνεπώς $f_1=e_1$, $f_2=e_2$ και $f_3=e_3$. Με άλλα λόγια η δυϊκή της συνήθους βάσης του $\mathbb R^3$ είναι η συνήθης βάση του $(\mathbb R^3)^*$.