Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 13   Έστω $U,V,W$ διανυσματικοί χώροι στο σώμα $K$ και $g: U\times V\rightarrow W$ μια απεικόνιση. Η $g$ λέγεται διγραμμική αν για κάθε $u\in U$ η απεικόνιση $v\rightarrow g(u,v)$ είναι γραμμική και για κάθε $v\in V$ η $u\rightarrow g(u,v)$ είναι γραμμική. Δηλαδή η $g$ ικανοποιεί τις συνθήκες

$$g(xu_1+yu_2,v)=xg(u_1,v)+yg(u_2,v)$$

$$g(u,zv_1+wv_2)=zg(u,v_1)+wg(u,v_2)$$

για κάθε $u,u_1,u_2\in U$, $v,v_1,v_2\in V$ και $x,y,z,w\in K$.

To σύνολο όλων των διγραμμικών απεικονίσεων συμβολίζεται με $Bil(U\times V,W)$.

Θεώρημα 21   Αν $g\in Bil(U\times V,W)$ τότε υπάρχει μοναδικός πίνακας $A$ τέτοιος ώστε $g=g_A$, δηλαδή $g(x,y)=x^t Ay$.

H απεικόνιση η οποία στέλνει κάθε πίνακα $A$ διάστασης $m\times n$ στην αντίστοιχη διγραμμική μορφή $g_A$ είναι ισομορφισμός, δηλαδή

$$M_{m\times n}(K)\cong Bil(K^m\times K^n,K).$$

Ορισμός 14   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $K$ με εσωτερικό γινόμενο. Τότε η απεικόνιση $F:V\rightarrow K$ με $F(v)=(v,v)$ λέγεται τετραγωνική μορφή.