Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι το $\left\vert\begin{array}{cc} t-1 & 4\\ 2 & t-3 \end{array}\right\vert=(t-1)(t-3) -8 = t^2-4t-5=(t-5)(t+1).$ Άρα οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι $5$ και $-1$. Αν $(x,y)$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα τότε $\left(\begin{array}{cc}1 & 4\\ 2 & 3\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x\\ y\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{cc}x\\ y\end{array}\right)$ το οποίο δίνει τις εξισώσεις $(1-\lambda )x+4y=0$ και $2x+(3-\lambda )y=0$.

Θέτουμε $x=1$ και βρίσκουμε $y=\frac{-2}{3-\lambda }$. Άρα τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα έχουν την μορφή $\left(\begin{array}{cc}1 \\ -2/(3-\lambda )\end{array}\right)$. Αντικαθιστώντας $\lambda =5$ και $\lambda =-1$ παίρνω $v_1=(1,1)$ και $v_2=(1,-1/2)$. Άρα για την ιδιοτιμή 5 ο ιδιόχωρος (που είναι μονοδιάστατος) έχει βάση το $v_1$ και για την ιδιοτιμή -1 ο μονοδιάστατος υπόχωρος που παράγεται έχει βάση το $v_2$. Παρατηρήστε ότι αν αντικαθιστούσαμε το $x$ με οποιονδήποτε άλλον αριθμό (εκτός του 1) θα παίρναμε αντί των $v_1,v_2$ κάποια πολλαπλάσιά τους. Επομένως δεν θα άλλαζαν ούτε οι ιδιόχωροι ούτε βέβαια η διάστασή τους.