Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι $\left\vert\begin{array}{ccc}t-2 & -1 &0\\ 0 & t-1 & 1\\ 0 & -2 & t-4\end{array}\right\vert=(t-2)^2(t-3).$ Άρα οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι το 2 (διπλή) και το 3. Αν τώρα $(x,y,z)$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$ τότε εργαζόμενοι όπως προηγούμενα παίρνουμε το σύστημα $\begin{array}{c}(2-\lambda )x + y = 0\\ (1-\lambda )y - z = 0\\ 2y + (4-\lambda )z = 0 \end{array}.$ Για $\lambda =2$ παίρνουμε το διάνυσμα $v_1=(x,0,0)$ και άρα o ιδιόχωρος που παράγεται είναι μονοδιάστατος και μιά βάση του είναι το διάνυσμα $(1,0,0)$.

Για $\lambda =3$ το διάνυσμα που παίρνω είναι το $v_2=(x,x,-2z)$. Άρα ο ιδιόχωρος που παράγεται είναι μονοδιάστατος και μια βάση του είναι το διάνυσμα $(1,1,-2)$.