Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι $p(t)=\left\vert\begin{array}{ccc} t-4 & 2 & -2\\ -6 & t+3 & -4\\ -3 & 2 & t-3 \end{array}\right\vert=t^3-4t^2+5t-2=(t-2)(t-1)^2.$

To ελάχιστο πολυώνυμο $m(t)$ πρέπει να διαιρεί το $p(t)$ και να έχει τις ίδιες ρίζες με αυτό. Άρα πιθανά ελάχιστα πολυώνυμα είναι τα $f(t)=(t-2)(t-1)$ και $g(t)=(t-2)(t-1)^2$. Έχουμε όμως ότι $f(A)=(A-2I)(A-I)= \left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 6 & -5 & 4\\ 3 & -2 & 1... ...left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right).$ Άρα το $f(t)=(t-1)(t-2)=t^2-3t+2$ είναι το ελάχιστο πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης.