Next: Άσκηση 13
Up: Διαγωνοποιήσιμοι Πίνακες
Previous: Διαγωνοποιήσιμοι Πίνακες
Ορισμός 5
Ένας πίνακας λέγεται διαγώνιος αν όλα τα στοιχεία του εκτός της κυρίας
διαγωνίου είναι μηδενικά. Ένας πίνακας λέγεται διαγωνοποιήσιμος αν
είναι όμοιος με έναν διαγώνιο πίνακα. Μια γραμμική απεικόνιση
![$L:V\rightarrow V$](img19.gif)
λέγεται διαγωνοποιήσιμη αν ο
![$V$](img1.gif)
έχει μια βάση τέτοια ώστε ο πίνακας
της
![$L$](img21.gif)
ως προς την βάση αυτή να είναι διαγώνιος.
Πρόταση 2
Mια γραμμική απεικόνιση
![$L\in {\cal L}(V,V)$](img137.gif)
είναι διαγωνοποιήσιμη αν ο
![$V$](img1.gif)
έχει μια βάση που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα της
![$L$](img21.gif)
.
Πρόταση 3
Αν
![$\lambda _1,\ldots ,\lambda _n$](img138.gif)
είναι διαφορετικές ανα δύο ιδιοτιμές μιας
![$L\in {\cal L}(V,V)$](img137.gif)
και
![$V(\lambda _1),\ldots ,V(\lambda _n)$](img139.gif)
είναι οι ιδιόχωροι
που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές τότε το άθροισμα
![$V(\lambda _1)+
\ldots +V(\lambda _n)$](img140.gif)
είναι ευθύ, δηλαδή
Θεώρημα 9
Aν
![$v_1,\ldots ,v_n$](img142.gif)
είναι ιδιοδιανύσματα γραμμικής απεικόνισης που
αντιστοιχούν σε διακεκριμένες ιδιοτιμές τότε τα
![$v_1,\ldots ,v_n$](img142.gif)
είναι
γραμμικώς ανεξάρτητα.
Θεώρημα 10
Έστω
![$L\in {\cal L}(V,V)$](img137.gif)
.
Αν
![$\lambda $](img5.gif)
μια ιδιοτιμή της
![$L$](img21.gif)
τότε η διάσταση του
ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
![$\lambda $](img5.gif)
είναι μικρότερη ή ίση με την
πολλαπλότητα του
![$\lambda $](img5.gif)
σαν ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.
Θεώρημα 11
Mια γραμμική απεικόνιση
![$L\in {\cal L}(V,V)$](img137.gif)
είναι διαγωνοποιήσιμη αν και
μόνο αν
όπου
![$\lambda _1,\ldots ,\lambda _n$](img138.gif)
είναι οι διακεκριμένες ιδιοτιμές της
![$L$](img21.gif)
.
Πόρισμα 1
Αν η γραμμική απεικόνιση
![$L\in {\cal L}(V,V)$](img137.gif)
είναι διαγωνοποιήσιμη και
![$\lambda $](img5.gif)
είναι μια ιδιοτιμή της τότε η διάσταση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί
στην ιδιοτιμή αυτή είναι ίση με την πολλαπλότητα του
![$\lambda $](img5.gif)
σαν ρίζα
του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.
Θεώρημα 12
Mια γραμμική απεικόνιση
![$L\in {\cal L}(V,V)$](img137.gif)
είναι διαγωνοποιήσιμη αν και
μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο της
![$L$](img21.gif)
είναι γινόμενο διακεκριμένων
πρωτοβάθμιων παραγόντων,
όπου
![$\lambda _1,\ldots ,\lambda _k$](img145.gif)
διακεκριμένες
ιδιοτιμές της
![$L$](img21.gif)
.
Vassilis Metaftsis
1999-09-15