Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 5   Ένας πίνακας λέγεται διαγώνιος αν όλα τα στοιχεία του εκτός της κυρίας διαγωνίου είναι μηδενικά. Ένας πίνακας λέγεται διαγωνοποιήσιμος αν είναι όμοιος με έναν διαγώνιο πίνακα. Μια γραμμική απεικόνιση $L:V\rightarrow V$ λέγεται διαγωνοποιήσιμη αν ο $V$ έχει μια βάση τέτοια ώστε ο πίνακας της $L$ ως προς την βάση αυτή να είναι διαγώνιος.

Πρόταση 2   Mια γραμμική απεικόνιση $L\in {\cal L}(V,V)$ είναι διαγωνοποιήσιμη αν ο $V$ έχει μια βάση που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα της $L$.

Πρόταση 3   Αν $\lambda _1,\ldots ,\lambda _n$ είναι διαφορετικές ανα δύο ιδιοτιμές μιας $L\in {\cal L}(V,V)$ και $V(\lambda _1),\ldots ,V(\lambda _n)$ είναι οι ιδιόχωροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές τότε το άθροισμα $V(\lambda _1)+ \ldots +V(\lambda _n)$ είναι ευθύ, δηλαδή

$$V(\lambda _1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda _n).$$

Θεώρημα 9   Aν $v_1,\ldots ,v_n$ είναι ιδιοδιανύσματα γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχούν σε διακεκριμένες ιδιοτιμές τότε τα $v_1,\ldots ,v_n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Θεώρημα 10   Έστω $L\in {\cal L}(V,V)$. Αν $\lambda$ μια ιδιοτιμή της $L$ τότε η διάσταση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $\lambda$ είναι μικρότερη ή ίση με την πολλαπλότητα του $\lambda$ σαν ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Θεώρημα 11   Mια γραμμική απεικόνιση $L\in {\cal L}(V,V)$ είναι διαγωνοποιήσιμη αν και μόνο αν

$$V=V(\lambda _1)\oplus\ldots\oplus V(\lambda _n)$$

όπου $\lambda _1,\ldots ,\lambda _n$ είναι οι διακεκριμένες ιδιοτιμές της $L$.

Πόρισμα 1   Αν η γραμμική απεικόνιση $L\in {\cal L}(V,V)$ είναι διαγωνοποιήσιμη και $\lambda$ είναι μια ιδιοτιμή της τότε η διάσταση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή αυτή είναι ίση με την πολλαπλότητα του $\lambda$ σαν ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου.

Θεώρημα 12   Mια γραμμική απεικόνιση $L\in {\cal L}(V,V)$ είναι διαγωνοποιήσιμη αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο της $L$ είναι γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβάθμιων παραγόντων,

$$p(t)=(t-\lambda _1)\ldots (t-\lambda _k)$$

όπου $\lambda _1,\ldots ,\lambda _k$ διακεκριμένες ιδιοτιμές της $L$.