Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι το $\vert tI-A\vert= \left(\begin{array}{ccc} t+3 & -1 & 1\\ 7 & t-5 & 1\\ 6 & -6 & t+2 \end{array}\right)= t^3-12t-16=(t+2)^2(t-4).$ Άρα οι ιδιοτιμές του $A$ είναι $-2$ και $4$. Για την ιδιοτιμή $-2$ έχω $\left(\begin{array}{ccc} -3 & 1 & -1\\ -7 & 5 & -1\\ -6 & 6 & -2 \end{array}\ri... ... z \end{array}\right)= -2 \left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)$ το οποίο δίνει το σύστημα $\begin{array}{ccc} x - y + z=0\\ 7x - 7y + z =0\\ 6x - 6y =0 \end{array}$ το οποίο έχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή και άρα το διάνυσμα $v_1=(1,1,0)$ αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή -2. Όμοια για την ιδιοτιμή 4 παίρνω το σύστημα $\begin{array}{ccc} 7x-y+z =0\\ 7x-y+z=0\\ 6x-6y+6z =0 \end{array}$ το οποίο έχει μια ανεξάρτητη μεταβλήτη και άρα το $v_2=(0,1,1)$ είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $4$. Άρα το σύνολο $\{ v_1,v_2\}$ είναι ένα σύνολο από ιδιοδιανύσματα τα οποία είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Προφανώς ο $A$ δεν είναι διαγωνοποιήσιμος εφόσον ο αριθμός των γραμμικώς ανεξαρτήτων ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του πίνακα είναι μικρότερος από την διάσταση του $\mathbb R^3$.