Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$ είναι το $\vert tI-A\vert= \left\vert\begin{array}{cc} t & 2\\ -1 & t-3 \end{array}\right\vert=t(t-3)+2=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$ και άρα από γνωστό θεώρημα ο $A$ είναι διαγωνοποιήσιμος. Για την ιδιοτιμή 1 έχω $\left(\begin{array}{cc} 0 & -2\\ 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)= 1\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$. Το παραπάνω σύστημα έχει μια ελεύθερη μεταβλητή και άρα το $v_1=(-2,1)$ είναι μια βάση του ιδιόχωρου που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $1$.

Όμοια για την ιδιοτιμή $2$ έχω $\left(\begin{array}{cc} 0 & -2\\ 1 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)= 2\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$. Το παραπάνω σύστημα έχει μια ελεύθερη μεταβλητή και εύκολα βλέπουμε ότι το $v_2=(1,-1)$ είναι μια βάση του ιδιοχώρου που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 2. Έτσι $A=P^{-1}CP= \left(\begin{array}{cc} -1 & -1\\ -1 & -2 \end{array}\right) \left... ... \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} -2 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\right)$. Eύκολα βλέπει κανείς χρησιμοποιώντας επαγωγή ότι $A^n=P^{-1}C^nP= \left(\begin{array}{cc} -1 & -1\\ -1 & -2 \end{array}\right) \... ...eft(\begin{array}{cc} 2-2^n & 2^n-1\\ 2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1 \end{array}\right)$ για κάθε $n\in \mathbb Z^+$. Αντικαθιστώντας το $n$ με $\frac{1}{2}$ παίρνω $B=\left(\begin{array}{cc} 2-\sqrt{2} & -1+\sqrt{2}\\ 2-2\sqrt{2} & -1+2\sqrt{2} \end{array}\right).$