Λύση

Eφόσον ο $A$ είναι διαγωνοποιήσιμος υπάρχει πίνακας $P$ τέτοιος ώστε $A=P^{-1}CP$ όπου ο $C$ είναι ένας διαγώνιος πίνακας με στοιχεία στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές του $A$, δηλαδή $C= \left(\begin{array}{cccc} c_1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & c_2 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & c_n \end{array}\right)$ όπου τα $c_i$ είναι οι ιδιοτιμές του $A$ οι οποίες είναι πραγματικοί αριθμοί. Επομένως κάθε $c_i$ είναι πραγματικός αριθμός και άρα έχει μια κυβική ρίζα. Αν θέσουμε $d_i=\sqrt[3]{c_i}$ για κάθε $i=1,\ldots,n$ τότε ο πίνακας $D= \left(\begin{array}{cccc} d_1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & d_2 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & d_n \end{array}\right)$ ικανοποιεί την $D^3=C$. Θέτουμε $B=P^{-1}DP$. Τότε, $B^3=(P^{-1}DP)^3= P^{-1}D^3P=P^{-1}CP=A.$