Next: Άσκηση 21
Up: Ρητή μορφή και κανονική
Previous: Ρητή μορφή και κανονική
Ορισμός 8
Έστω
![$p(x)=x^m+a_{m-1}x^{m-1}+\ldots +a_1x+a_0$](img244.gif)
ένα πολυώνυμο με συντελεστές
στο σώμα
![$K$](img123.gif)
.
Ο πίνακας
λέγεται συνοδός πίνακας του πολυωνύμου
![$p(x)$](img104.gif)
.
Θεώρημα 15
O συνοδός πίνακας ενός πολυωνύμου
![$p(x)$](img104.gif)
με συντελεστές στο σώμα
![$K$](img123.gif)
και
πρώτο συντελεστή την μονάδα
έχει ως ελάχιστο και χαρακτηριστικό πολυώνυμο το
![$p(x)$](img104.gif)
.
Θεώρημα 16
Ένας πίνακας
![$A$](img4.gif)
με στοιχεία από το σώμα
![$K$](img123.gif)
είναι όμοιος με ένα πίνακα
της μορφής
όπου
![$A_i$](img228.gif)
είναι οι συνοδοί πίνακες των πολυωνύμων
![$p_i(x)^{r_{i1}}, \ldots,
p_i(x)^{r_{is_i}}$](img247.gif)
,
![$r_{i1}\ge \ldots \ge r_{is_i}$](img248.gif)
,
![$i=1,\ldots ,k$](img249.gif)
.
Tα
πολυώνυμα
![$p_i$](img250.gif)
είναι διακεκριμένα και ανάγωγα στο
![$K$](img123.gif)
και ο πίνακας είναι
μονοσήμαντα ορισμένος εκτός από την μετάθεση των
![$A_1,\ldots ,A_m$](img251.gif)
.
Tα πολυώνυμα
![$p_i(x)^{r_{ij}}$](img252.gif)
είναι μονοσήμαντα ορισμένα από τον πίνακα
![$A$](img4.gif)
και λέγονται στοιχειώδεις διαιρέτες του
![$A$](img4.gif)
.
To γινόμενο των
στοιχειωδών διαιρετών του
![$A$](img4.gif)
είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του
![$A$](img4.gif)
.
Ορισμός 9
O παραπάνω πίνακας λέγεται ρητή κανονική μορφή του πίνακα
![$A$](img4.gif)
.
Πόρισμα 3
Δύο
![$n\times n$](img26.gif)
πίνακες είναι όμοιοι αν και μόνο αν έχουν τους
ίδιους στοιχειώδεις διαιρέτες
Ορισμός 10
Ένας
![$k\times k$](img253.gif)
πίνακας της μορφής
λέγεται στοιχειώδης πίνακας Jordan τάξης
![$k$](img255.gif)
που αντιστοιχεί
στην ιδιοτιμή
![$\lambda $](img5.gif)
.
Θεώρημα 17
Aν το ελάχιστο πολυώνυμο ενός πίνακα
![$Α$](img8.gif)
είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων
παραγόντων
![$p(x)=(x-\lambda _1)^{r_1}\ldots (x-\lambda _k)^{r_k}$](img256.gif)
με τα
![$\lambda _i$](img257.gif)
διαφορετικά μεταξύ τους τότε ο πίνακας
![$Α$](img8.gif)
είναι όμοιος με ένα πίνακα
της μορφής
όπου
και
![$j=1,\ldots ,s_i)$](img262.gif)
είναι
οι στοιχειώδεις διαιρέτες του
![$A$](img4.gif)
.
Ο παραπάνω πίνακας λέμε ότι
έχει την κανονική μορφή Jordan.
Πόρισμα 4
Κάθε πίνακας με στοιχεία στο
![$\mathbb C$](img207.gif)
είναι όμοιος με ένα πίνακα που
έχει την κανονική μορφή Jordan.
Vassilis Metaftsis
1999-09-15