Λύση

.

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι $\left\vert\begin{array}{ccc} x-3 & 4 & 0\\ -3 & x+2 & -1\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right\vert=(x-2)(x^2-x+6).$ Εύκολα βλέπουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο συμπίπτει με το ελάχιστο. Άρα η κανονική ρητή μορφή είναι $\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -6 & 1 \end{array}\right).$ Η Jordan μορφή είναι η $\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1+i\sqrt{23}}{2} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1+i\sqrt{23}}{2} \end{array}\right).$

.

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι $\left\vert\begin{array}{cccc} x & -1 & 0 & 0\\ 0 & x & -1 & 0\\ 0 & 0 & x & -1\\ -1 & 0 & 0 & x \end{array}\right\vert=(x-1)(x+1)(x^2+1).$ Εύκολα βλέπουμε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα συμπίπτει με το χαρακτηριστικό και άρα η ρητή μορφή του πίνακα είναι $\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$ και η κανονική μορφή Jordan είναι $\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & i & 0\\ 0 & 0 & 0 & -i \end{array}\right).$