Λύση

Σχηματίζω τον πίνακα

$$M=\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\ ... ...1 & 3 & 0 & 0 & 1\\ 4 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

και χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών προσπαθώ να δημιουργήσω τον ταυτοτικό πίνακα $I_3$ στην αριστερή μεριά. Aρχικά εφαρμόζω τους μετασχηματισμούς $R_2\rightarrow R_2-2R_1$ και $R_3\rightarrow R_3-4R_1$ για να πάρω:

$$\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\ ... ...-1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right).$$

Κατόπιν, εφαρμόζω τον $R_3\rightarrow R_2+R_3$ και παίρνω

$$\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\ ... ...1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -6 & 1 & 1 \end{array}\right).$$

Eφαρμόζω τώρα τις $R_3\rightarrow -R_3$ και $R_2\rightarrow -R_2$ για να πάρω

$$\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\ ... ... 1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right)$$

και χρησιμοποιώντας τους $R_1\rightarrow R_1-2R_3$ και $R_2\rightarrow R_2-R_3$ παίρνω

$$\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 0 & -11 & 2 & 2\\ ... ...0 & -4 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right).$$

Άρα

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} -11 & 2 & 2\\ -4 & 0 & 1\\ 6 & -1 & -1 \end{array}\right).$$