Λύση

Σχηματίζω τον πίνακα

$$M=\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & -2 & 2 & 1 & 0 & 0\\... ...3 & 6 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

και χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών προσπαθώ να δημιουργήσω τον ταυτοτικό πίνακα $I_3$ στην αριστερή μεριά. Aρχικά εφαρμόζω τους μετασχηματισμούς $R_2\rightarrow R_2-2R_1$ και $R_3\rightarrow R_3-R_1$ για να πάρω:

$$\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & -2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ ... ... 2 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 5 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right).$$

Στην συνέχεια εφαρμόζω τον $R_3\rightarrow R_3-3R_2$ και έχω τον πίνακα

$$\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & -2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ ... ...2 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 5 & -3 & 1 \end{array}\right).$$

Tώρα χρησιμοποιώ κατα σειρά τους μετασχηματισμούς $R_3\rightarrow -R_3$, $R_2\rightarrow R_2-2R_3$ $R_1\rightarrow R_1-2R_3$ και $R_1\rightarrow R_1+2R_2$ και παίρνω

$$\left(\begin{array}{ccc\vert ccc} 1 & 0 & 0 & 27 & -16 & 6\\ ... ...& 0 & 8 & -5 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -5 & 3 & -1 \end{array}\right).$$

Άρα,

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 27 & -16 & 6\\ 8 & -5 & 2\\ -5 & 3 & -1 \end{array}\right).$$