Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 21   Έστω $V,V'$ διανυσματικοί χώροι σε ένα σώμα $K$. Μια γραμμική απεικόνιση $F: V\rightarrow V'$ είναι μια απεικόνιση η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

.

Για κάθε δύο στοιχεία $u,v \in V$ ισχύει $F(u+v)=F(u)+F(v).$

.

Για κάθε $k\in K$ και $v\in V$ ισχύει $F(kv)=kF(v)$.

Θεώρημα 17   Έστω $V$ και $V'$ διανυσματικοί χώροι πάνω στο σώμα $K$. Έστω ${\cal L}(V,V')$ το σύνολο όλων των γραμμικών απεικονίσεων από το $V$ στο $V'$. Ο ${\cal L}(V,V')$ με τις παρακάτω πράξεις είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $K$:

.

Για κάθε $T, F: V\rightarrow V'$ τότε $T+F$ είναι η απεικόνιση με $(T+F)(v)=T(v)+F(v)$ για κάθε $v\in V$.

.

Για κάθε $T: V\rightarrow V'$ και $k\in K$ η $kT$ είναι η απεικόνιση $(kT)(v)=kT(v)$ για κάθε $v\in V$.

Θεώρημα 18   Έστω $V,W$ διανυσματικοί χώροι. Aν $\{v_1,\ldots ,v_n\}$ μια βάση του $V$ και $w_1,\ldots ,w_n$ τυχαία στοιχεία του $W$ τότε υπάρχει μια μοναδική γραμμική απεικόνιση $T:V\rightarrow W$ τέτοια ώστε $T(v_1)=w_1, \ldots ,T(v_n)=w_n$.

Πόρισμα 5   Αν $V$,$W$ διανυσματικοί χώροι τότε οι $V,W$ είναι ισομορφικοί αν και μόνο αν dim$V=$dim$W$.

Ορισμός 22   Αν $V,W$ διανυσματικοί χώροι και $F: V\rightarrow W$ γραμμική απεικόνιση, ορίζουμε πυρήνα της $F$ (ker$F$) το σύνολο των στοιχείων του $V$ που μέσω της $F$ απεικονίζονται στο ${\bf0}\in W$. Δηλαδή,

$${\rm Ker}F=\{ v\in V \mid F(v)={\bf0}\}.$$

Πόρισμα 6   O πυρήνας μιας γραμμικής απεικόνισης $F: V\rightarrow W$ αποτελεί υπόχωρο του $V$.

Πόρισμα 7   Αν $F: V\rightarrow W$ γραμμική απεικόνιση, οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:

.

O πυρήνας της $F$ είναι τετριμμένος Ker$F=\{{\bf0}\}$

.

H $F$ είναι 1-1 (για κάθε $v,u\in V$ με $v\neq u$ ισχύει $F(v)\neq F(u)$).

Θεώρημα 19   Έστω $F: V\rightarrow W$ γραμμική απεικόνιση με Ker$F=\{{\bf0}\}$. Αν $v_1,\ldots ,v_n$ γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του $V$ τότε τα $F(v_1),\ldots , F(v_n)$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του $W$.

Ορισμός 23   Αν $F: V\rightarrow W$ μια γραμμική απεικόνιση ορίζουμε εικόνα της $F$ (Im$F$) το σύνολο των στοιχείων του $W$ για τα οποία υπάρχει στοιχείο $v\in V$ ώστε $F(v)=w$. Δηλαδή

$${\rm Im}F=\{ F(v) \mid \forall\ v\in V\}.$$

Πόρισμα 8   Η εικόνα της γραμμικής απεικόνισης $F: V\rightarrow W$ είναι υπόχωρος του $W$.

Θεώρημα 20   Έστω $F: V\rightarrow W$ γραμμική απεικόνιση. Τότε

$${\rm dim}V={\rm dimKer}F+{\rm dimIm}F.$$

Θεώρημα 21   Έστω $L:V\rightarrow W$ μια γραμμική απεικόνιση. Υποθέτω ότι dim$V=$dim$W$. Αν Ker$L=\{{\bf0}\}$ ή Im$L=W$ τότε η $L$ είναι 1-1 και επί.

Θεώρημα 22   Αν $V,U,W$ διανυσματικοί χώροι πάνω στο σώμα $K$. Έστω $F:U\rightarrow V$ και $G:V\rightarrow W$ γραμμικές απεικονίσεις. Tότε, η σύνθεση των $F,G$, $F\circ G: U \rightarrow W$ είναι γραμμική απεικόνιση.

Θεώρημα 23   Έστω $U,V,W$ διανυσματικοί χώροι πάνω στο $K$. Aν η $F:U\rightarrow V$ και οι $G,H: V\rightarrow W$ γραμμικές απεικονίσεις τότε $(G+H)\circ F=G\circ F+H\circ F$. Eπιπλέον, αν $k\in K$ τότε $(kG)\circ F=k(G\circ F).$ Αν $T:U\rightarrow V$ γραμμική απεικόνιση τότε $G\circ (F+T)=G\circ F+G\circ T$.

Ορισμός 24   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος. Μια γραμμική απεικόνιση $L: V\rightarrow V$ λέγεται τελεστής.

Θεώρημα 24   Αν $F:U\rightarrow V$ γραμμική απεικόνιση και η $G:V\rightarrow U$ είναι η αντίστροφη απεικόνιση της $F$ τότε η $G$ είναι και αυτή γραμμική απεικόνιση.

Πόρισμα 9   Αν $F:U\rightarrow V$ γραμμική απεικόνιση με τετριμμένο πυρήνα η οποία είναι επί. Τότε η $F$ έχει αντίστροφη γραμμική απεικόνιση.

Ορισμός 25   Αν $A$ ένας $n\times n$ πίνακας, τότε ίχνος του $A$, $tr(A)$ λέμε το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου ( $tr(A)=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}).$