Next: Άσκηση 34
Up: Γραμμικές Απεικονίσεις
Previous: Γραμμικές Απεικονίσεις
Θεώρημα 18
Έστω
![$V,W$](img555.gif)
διανυσματικοί χώροι. Aν
![$\{v_1,\ldots ,v_n\}$](img65.gif)
μια βάση του
![$V$](img14.gif)
και
![$w_1,\ldots ,w_n$](img77.gif)
τυχαία στοιχεία του
![$W$](img34.gif)
τότε υπάρχει μια μοναδική
γραμμική απεικόνιση
![$T:V\rightarrow W$](img556.gif)
τέτοια ώστε
![$T(v_1)=w_1, \ldots ,T(v_n)=w_n$](img557.gif)
.
Πόρισμα 5
Αν
![$V$](img14.gif)
,
![$W$](img34.gif)
διανυσματικοί χώροι τότε οι
![$V,W$](img555.gif)
είναι ισομορφικοί αν
και μόνο αν dim
![$V=$](img88.gif)
dim
![$W$](img34.gif)
.
Ορισμός 22
Αν
![$V,W$](img555.gif)
διανυσματικοί χώροι και
![$F: V\rightarrow W$](img558.gif)
γραμμική απεικόνιση,
ορίζουμε πυρήνα της
![$F$](img386.gif)
(ker
![$F$](img386.gif)
)
το σύνολο των στοιχείων του
![$V$](img14.gif)
που μέσω της
![$F$](img386.gif)
απεικονίζονται στο
![${\bf0}\in W$](img559.gif)
.
Δηλαδή,
Πόρισμα 6
O πυρήνας μιας γραμμικής απεικόνισης
![$F: V\rightarrow W$](img558.gif)
αποτελεί υπόχωρο του
![$V$](img14.gif)
.
Θεώρημα 19
Έστω
![$F: V\rightarrow W$](img558.gif)
γραμμική απεικόνιση με Ker
![$F=\{{\bf0}\}$](img561.gif)
.
Αν
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του
![$V$](img14.gif)
τότε τα
![$F(v_1),\ldots , F(v_n)$](img564.gif)
είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του
![$W$](img34.gif)
.
Ορισμός 23
Αν
![$F: V\rightarrow W$](img558.gif)
μια γραμμική απεικόνιση ορίζουμε εικόνα της
![$F$](img386.gif)
(Im
![$F$](img386.gif)
)
το σύνολο των στοιχείων του
![$W$](img34.gif)
για τα οποία υπάρχει
στοιχείο
![$v\in V$](img17.gif)
ώστε
![$F(v)=w$](img565.gif)
.
Δηλαδή
Πόρισμα 8
Η εικόνα της γραμμικής απεικόνισης
![$F: V\rightarrow W$](img558.gif)
είναι υπόχωρος του
![$W$](img34.gif)
.
Θεώρημα 20
Έστω
![$F: V\rightarrow W$](img558.gif)
γραμμική απεικόνιση. Τότε
Θεώρημα 21
Έστω
![$L:V\rightarrow W$](img568.gif)
μια γραμμική απεικόνιση. Υποθέτω ότι
dim
![$V=$](img88.gif)
dim
![$W$](img34.gif)
.
Αν Ker
![$L=\{{\bf0}\}$](img569.gif)
ή Im
![$L=W$](img570.gif)
τότε
η
![$L$](img13.gif)
είναι 1-1 και επί.
Θεώρημα 22
Αν
![$V,U,W$](img571.gif)
διανυσματικοί χώροι πάνω στο σώμα
![$K$](img1.gif)
.
Έστω
![$F:U\rightarrow V$](img572.gif)
και
![$G:V\rightarrow W$](img573.gif)
γραμμικές απεικονίσεις. Tότε, η σύνθεση των
![$F,G$](img574.gif)
,
![$F\circ G: U \rightarrow W$](img575.gif)
είναι γραμμική απεικόνιση.
Θεώρημα 23
Έστω
![$U,V,W$](img576.gif)
διανυσματικοί χώροι πάνω στο
![$K$](img1.gif)
.
Aν η
![$F:U\rightarrow V$](img572.gif)
και
οι
![$G,H: V\rightarrow W$](img577.gif)
γραμμικές απεικονίσεις τότε
![$(G+H)\circ F=G\circ F+H\circ F$](img578.gif)
.
Eπιπλέον, αν
![$k\in K$](img18.gif)
τότε
![$(kG)\circ F=k(G\circ F).$](img579.gif)
Αν
![$T:U\rightarrow V$](img580.gif)
γραμμική απεικόνιση τότε
![$G\circ (F+T)=G\circ F+G\circ T$](img581.gif)
.
Ορισμός 24
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος. Μια γραμμική απεικόνιση
![$L: V\rightarrow V$](img582.gif)
λέγεται τελεστής.
Θεώρημα 24
Αν
![$F:U\rightarrow V$](img572.gif)
γραμμική απεικόνιση και η
![$G:V\rightarrow U$](img583.gif)
είναι η αντίστροφη
απεικόνιση της
![$F$](img386.gif)
τότε η
![$G$](img584.gif)
είναι και αυτή γραμμική απεικόνιση.
Πόρισμα 9
Αν
![$F:U\rightarrow V$](img572.gif)
γραμμική απεικόνιση με τετριμμένο πυρήνα η οποία είναι επί.
Τότε η
![$F$](img386.gif)
έχει αντίστροφη γραμμική απεικόνιση.
Ορισμός 25
Αν
![$A$](img405.gif)
ένας
![$n\times n$](img434.gif)
πίνακας, τότε ίχνος του
![$A$](img405.gif)
,
![$tr(A)$](img585.gif)
λέμε το
άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου
(
![$tr(A)=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}).$](img586.gif)
Next: Άσκηση 34
Up: Γραμμικές Απεικονίσεις
Previous: Γραμμικές Απεικονίσεις
Vassilis Metaftsis
1999-09-15