Λύση

Έστω $v,u$ στοιχεία του $U\cap W$. Τότε $v,u\in U$ και $v,u\in W$. Επειδή $U,W$ υπόχωροι του $V$ έχω ότι $v+u\in U$ και $v+u\in W$. Άρα $v+u\in U\cap W$. Eπίσης, για κάθε $c\in K$ έχω ότι το $cv\in U$ και $cv\in W$ (πάλι διότι oι $U,W$ υπόχωροι του $V$). Συνεπώς, $cv\in U\cap W$ για κάθε $v\in U\cap W$ και κάθε $c\in K$. Τέλος, το ${\bf0}$ είναι στοιχείο και του $U$ και του $W$ επομένως είναι στοιχείο και του $U\cap W$. Ο $U\cap W$ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ορισμού και άρα είναι υπόχωρος του διανυσματικού χώρου $V$.