Λύση

Έστω $v\in V$. Tότε το $v=v-P(v)+P(v)$. Είναι προφανές ότι $P(v)$ είναι στοιχείο της εικόνας της $P$. Από την άλλη, το $v-P(v)$ ανήκει στον πυρήνα της $P$ διότι $P(v-P(v))=P(v)-P(P(v))=P(v)-P^2(v)=P(v)-P(v)={\bf0}.$ Άρα κάθε στοιχείο του $V$ γράφεται σαν άθροισμα ενός στοιχείου της εικόνας και ενός στοιχείου του πυρήνα της $P$. Για να δείξω ότι το άθροισμα είναι ευθύ πρέπει να δείξω ότι ${\rm Ker}P\cap{\rm Im}P=\{{\bf0}\}$ το οποίο είναι προφανές.