Λύση

Next: Άσκηση 57 Up: Άσκηση 56 Previous: Υπόδειξη

Έστω $(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)\in V$ και $a\in\mathbb R$ . Τότε

$\begin{displaymath}((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}y_1x_1-y_2x_1-y_1x_2+ 3y_2x_2=((y_1,y_2),(x_1,x_2)).\end{displaymath}$

Επίσης

$\begin{displaymath}((x_1,x_2),(y_1,y_2)+(z_1,z_2))=((x_1,x_2),(y_1+z_1,y_2+z_2))=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x_1(y_1+z_1)-x_1(y_2+z_2)-x_2(y_1+z_1)+3x_2(y_2+z_2)=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2+x_1z_1-x_1z_2-x_2z_1+3x_2z_2=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}((x_1,x_2),(y_1,y_2))+((x_1,x_2),(z_1,z_2)).\end{displaymath}$

Όμοια,

$\begin{displaymath}(a(x_1,x_2),(y_1,y_2))=((ax_1,ax_2),(y_1,y_2))=ax_1y_1-ax_1y_2-ax_2y_1 +3ax_2y_2=\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}a(x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2)=a((x_1,x_2),(y_1,y_2)).\end{displaymath}$

Για να δείξουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι θετικά ορισμένο, έστω $(x_1,x_2)\neq (0,0)$ . Τότε

$\begin{displaymath}((x_1,x_2),(x_1,x_2))= x_1^2-2x_1x_2+3x_2^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+2x_2^2=(x_1-x_2)^2+2x_2^2>0.\end{displaymath}$

Vassilis Metaftsis
1999-09-15