Λύση

Θα δείξω πρώτα ότι $W\subset (W^{\perp })^{\perp }$. Έστω $w\in W$. Τότε $(w,v)=0$ για κάθε $v\in W^{\perp }$. Άρα, $w\in (W^{\perp })^{\perp }$. Ξέρω ότι ισχύει $V=W\oplus W^{\perp }$. Από την άλλη, ο $W^{\perp }$ είναι υπόχωρος του $V$ και άρα ισχύει $V=W^{\perp }\oplus (W^{\perp })^{\perp }.$ Άρα, dim$W=$dim$V-$dim$W^{\perp }$, και dim $(W^{\perp })^{\perp })=$dim$V-$dim$W^{\perp }$. Άρα dim$W=$dim $(W^{\perp })^{\perp }$ και λόγω του ότι $W\subset (W^{\perp })^{\perp }$ έχω ότι $W=(W^{\perp })^{\perp }.$