Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 1   Έστω $K$ ένα υποσύνολο των μιγαδικών αριθμών $\mathbb C$. Λέμε ότι το $K$ είναι σώμα αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

.

Aν $x,y$ στοιχεία του $K$ τότε και το $x+y$ είναι στοιχείο του $K$.

.

Αν $x\in K$ τότε και το $-x\in K$. Επιπλέον αν $x\neq 0$ τότε το $x^{-1}$ είναι στοιχείο του $K$.

.

Tα στοιχεία 0 και 1 ανήκουν στο $K$.

Tα σύνολα $\mathbb C$ και $\mathbb R$ είναι σώματα ενώ το $\mathbb Z$ δεν είναι σώμα. To σύνολο $\mathbb Q$ όλων των ρητών αριθμών είναι σώμα.

Ορισμός 2   Aν $K,L$ σώματα και το $K$ περιέχεται στο $L$ τότε λέμε ότι το $K$ είναι υπόσωμα του $L$.

Το $\mathbb R$ είναι υπόσωμα του $\mathbb C$ και το $\mathbb Q$ είναι υπόσωμα του $\mathbb R$.

Ορισμός 3   Ένας διανυσματικός χώρος $V$ πάνω στο σώμα $K$ είναι ένα σύνολο αντικειμένων στο οποίο έχει ορισθεί πρόσθεση μεταξύ των στοιχείων του $V$ και πολλαπλασιασμός των στοιχείων του $V$ με τα στοιχεία του $K$ έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω:

.

Για κάθε $u,v \in V$ τό $u+v\in V$.

.

Για κάθε $v\in V$ και κάθε $k\in K$ το $kv\in V$.

.

Για κάθε $u,v,w\in V$ ισχύει $(u+v)+w=u+(v+w)$.

.

Υπάρχει στοιχείο του $V$ που συμβολίζεται με ${\bf0}$ τέτοιο ώστε ${\bf0} + v=v+{\bf0} =v$ για κάθε στοιχείο $v\in V$.

.

Για κάθε στοιχείο $v\in V$ υπάρχει στοιχείο $-v\in V$ τέτοιο ώστε $v+(-v)={\bf0}$.

.

Για κάθε $v,u\in V$ ισχύει $v+u=u+v$.

.

Για κάθε $a\in K$ και κάθε $v,u\in V$ ισχύει $a(v+u)=av+au$.

.

Για κάθε $a,b\in K$ και $v\in V$ ισχύει $(a+b)v=av+bv$.

.

Για κάθε $a,b\in K$ και $v\in V$ ισχύει $(ab)v=a(bv)$.

.

Για κάθε $v\in V$ ισχύει $1\cdot v=v$.

Λέμε συνήθως ότι ο $V$ είναι διανυσματικός χώρος και εννοούμε ότι ο $V$ είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο $K$. Τα στοιχεία του $V$ λέγονται διανύσματα

Ορισμός 4   Aν $V$ ένας διανυσματικός χώρος και $W$ ένα υποσύνολο του $V$, λέμε ότι ο $W$ είναι υπόχωρος του $V$ αν ισχύουν τα παρακάτω:

.

Για κάθε $v,w \in W$ το $v+w\in W$.

.

Για κάθε $w\in W$ και κάθε $a\in K$ το $aw\in K$.

.

Το στοιχείο ${\bf0}$ του $V$ ανήκει και στο $W$.

Ορισμός 5   Έστω $V$ ένας διανυσματικός χώρος και $v_1,\ldots ,v_n\in V$. Αν $x_1,\ldots , x_n\in K$ τότε μια έκφραση της μορφής

$$x_1v_1+\ldots +x_nv_n$$

καλείται γραμμικός συνδυασμός των $v_1,\ldots ,v_n$.

Θεώρημα 1   Έστω $W$ το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στοιχείων $v_1,\ldots ,v_n$ του $V$. Tότε το $W$ έιναι υπόχωρος του $V$.

O παραπάνω υπόχωρος $W$ καλείται ο υπόχωρος που παράγεται από τα $v_1,\ldots ,v_n$. Aν ο $V=W$ τότε λέμε ότι ο $V$ παράγεται από τα $v_1,\ldots ,v_n$.

Παραδείγματα 1. Αν $V=K^n$ είναι το σύνολο όλων των $n$-άδων στοιχείων του $K$. Αν $A=(a_1,\ldots ,a_n)$ και $B=(b_1,\ldots ,b_n)$ στοιχεία του $V$, oρίζουμε $A+B=(a_1+b_1,\ldots ,a_n+b_n)$ και $cA=(ca_1,\ldots ,ca_n)$ για κάθε $c\in K$. Tότε το $V$ με τις παραπάνω πράξεις είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο $K$.

2. Αν $V$ διανυσματικός χώρος και $U,W$ υπόχωροι του $V$, τότε το $U\cap W$ είναι υπόχωρος του $V$.

3. Αν $U,W$ υπόχωροι του διανυσματικού χώρου $V$ τότε ορίζω με $U+W$ να είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του $V$ της μορφής $u+w$ όπου $u\in U$ και $w\in W$. Το $U+W$ είναι υπόχωρος του $V$.

Ορισμός 6   Έστω $V$ ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $K$ και έστω $v_1,\ldots ,v_n$ στοιχεία του $V$. Λέμε ότι τα $v_1,\ldots ,v_n$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα αν υπάρχουν στοιχεία $a_1,\ldots ,a_n \in K$ όχι όλα ίσα με το μηδεν τέτοια ώστε

$$a_1v_1+\ldots +a_nv_n={\bf0}.$$

Στην αντίθετη περίπτωση λέμε ότι τα στοιχεία $v_1,\ldots ,v_n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Δηλαδή:

Ορισμός 7   Tα στοιχεία $v_1,\ldots ,v_n$ ενός διανυσματικού χώρου $V$ λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα αν για κάθε $n$-άδα αριθμών $a_1,\ldots ,a_n \in K$ για την οποία ισχύει $a_1v_1+\ldots +a_nv_n={\bf0}$ συνεπάγεται ότι $a_i=0$ για κάθε $i=1,\ldots ,n$.

Παράδειγμα: Αν $V=K^n$ τότε τα διανύσματα $e_1=(1,0,\ldots ,0)$, $e_2=(0,1,\ldots ,0)$, $\ldots$, $e_n=(0,0,\ldots ,1)$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Ορισμός 8   Aν $v_1,\ldots ,v_n$ είναι στοιχεία του $V$ τα οποία παράγουν τον $V$ και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε λέμε ότι το σύνολο $\{v_1,\ldots ,v_n\}$ είναι μια βάση του $V$. Τα στοιχεία $v_1,\ldots ,v_n$ λέμε ότι αποτελούν βάση του $V$.

Παράδειγμα: Aν $V=K^n$ τότε τα στοιχεία $e_1,\ldots ,e_n$ που ορίσαμε παραπάνω αποτελούν βάση του $V$.

Θεώρημα 2   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος και $v_1,\ldots ,v_n$ γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του $V$. Έστω $x_1,\ldots ,x_n$ και $y_1,\ldots ,y_n$ στοιχεία του $K$. Αν

$$x_1v_1+\ldots +x_nv_n=y_1v_1+\ldots +y_nv_n$$

τότε $x_i=y_i$ για κάθε $i=1,\ldots ,n$.

Ορισμός 9   Έστω $V$ ένας διανυσματικός χώρος και $\{v_1,\ldots ,v_n\}$ υποσύνολο του $V$. Aν $r\le n$ λέμε ότι το σύνολο $\{v_1,\ldots ,v_r\}$ είναι ένα μεγιστικό υποσύνολο από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα αν τα στοιχεία $v_1,\ldots ,v_r$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και τα στοιχεία $v_1,\ldots ,v_r,v_i$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα για κάθε $i>r$.

Ορισμός 10   Αν $V$ διανυσματικός χώρος, λέμε ότι τα $v_1,\ldots ,v_n$ παράγουν τον $V$ αν κάθε στοιχείο του $V$ γράφετε σαν γραμμικώς συνδυασμός των $v_1,\ldots ,v_n$. Το σύνολο $\{v_1,\ldots ,v_n\}$ λέγεται σύνολο γεννητόρων του $V$.

Θεώρημα 3   Έστω $\{v_1,\ldots ,v_n\}$ ένα σύνολο γεννητόρων του $V$ και έστω $\{v_1,\ldots ,v_r\}$ ένα μεγιστικό υποσύνολο από γραμμικώς ανεξάρτητων στοιχείa του $V$. Τότε το $\{v_1,\ldots ,v_r\}$ είναι μια βάση του $V$.

Θεώρημα 4   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $K$. Έστω $\{v_1,\ldots ,v_m\}$ μια βάση του $V$. Aν $w_1,\ldots ,w_n$ είναι στοιχεία του $V$ και $n>m$ τότε τα $w_1,\ldots ,w_n$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα.

Θεώρημα 5   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος με μια βάση που αποτελείται από $n$ στοιχεία και μια βάση που αποτελείται από $m$ στοιχεία. Τότε $n=m$.

Ορισμός 11   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος και ${\cal B}$ μια βάση του $V$ που αποτελείται από $n$ στοιχεία. Το $n$ καλείται διάσταση του $V$. Aν το $V=\{{\bf0}\}$ τότε το $V$ δεν έχει βάση και η διάστασή του είναι μηδέν. Αν η βάση του $V$ αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό στοιχείων λέμε ότι ο χώρος έχει πεπερασμένη διάσταση. Στην αντίθετη περίπτωση λέμε ότι ο χώρος ειναι άπειρης διάστασης. H διάσταση του $V$ συμβολίζεται με dim$V$.

Παραδειγμα: Aν $V=\mathbb R^n$ τότε η διάσταση του $V$ είναι $n$ εφόσον το ${\cal B}=\{e_1,\ldots ,e_n\}$ είναι μια βάση του $V$.

Ορισμός 12   Έτσω $v_1,\ldots ,v_n$ γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα ενός διανυσματικού χώρου $V$. Τα στοιχεία $v_1,\ldots ,v_n\in V$ αποτελούν ένα μεγιστικό σύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων στοιχείων του $V$ αν για κάθε στοιχείο $w\in V$ τα στοιχεία $w,v_1,\ldots , v_n$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα.

Θεώρημα 6   Aν $V$ διανυσματικός χώρος και $\{v_1,\ldots ,v_n\}$ ένα μεγιστικό υποσύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων στοιχείων του $V$ τότε το σύνολο

$$\{v_1,\ldots ,v_n\}$$

αποτελεί βάση του $V$.

Θεώρημα 7   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος διάστασης $n$ και $v_1,\ldots ,v_n$ γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του $V$. Τότε τα $v_1,\ldots ,v_n$ αποτελούν βάση του $V$.

Πόρισμα 1   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος και $W$ υπόχωρος του $V$ ώστε dim$V=$dim$W$ τότε $V=W$.

Πόρισμα 2   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος διάστασης $n$. Έστω $r$ θετικός ακέραιος με $r<n$ και $v_1,\ldots ,v_r$ γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του $V$. Τότε μπορούμε να βρούμε στοιχεία $v_{r+1},\ldots ,v_n$ στον $V$ ώστε τα $v_1,\ldots ,v_n$ να αποτελούν βάση του $V$.

Θεώρημα 8   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος με βάση που αποτελείται απο $n$ στοιχεία. Έστω $W$ υπόχωρος του $V$ που δεν αποτελείται μόνο από το ${\bf0}$. Τότε το $W$ έχει μιά βάση που αποτελέιται απο το πολύ $n$ στοιχεία.

Ορισμός 13   Aν $V$ διανυσματικός χώρος και $U,W$ υπόχωροι του $V$ τέτοιοι ώστε κάθε στοιχείο $v\in V$ γράφεται κατά μοναδικό τρόπο $v=u+w$ όπου $u\in U$ και $w\in W$ τότε το $V$ λέγεται το ευθύ άθροισμα των $U,W$.

Θεώρημα 9   Έστω $V$ διανυσματικός χώρος πάνω στο $K$ και $U,W$ υπόχωροι του $V$. Aν $V=U+W$ και $U \cap W=\{{\bf0}\}$ τότε το $V$ είναι το ευθύ άθροισμα των $U$ και $W$. Το ευθύ άθροισμα συμβολίζεται $V=U\oplus W$.

Θεώρημα 10   Έστω $V$ ένας διανυσματικός χώρος με πεπερασμένη διάσταση πάνω στο σώμα $K$ και $W$ ένας υπόχωρος του $V$. Tότε υπάρχει υπόχωρος του $V$, έστω $U$, τέτοιος ώστε το $V$ να είναι το ευθύ άθροισμα των $W,U$.

Θεώρημα 11   Έστω $V$ ένας διανυσματικός χώρος με πεπερασμένη διάσταση πάνω στο σώμα $K$ με $U,W$ υπόχωρους τέτοιους ώστε $V=U\oplus W$. Τότε

$${\rm dim}V={\rm dim}U+{\rm dim}W.$$