Next: Άσκηση 1
Up: Διανυσματικοί Χώροι
Previous: Διανυσματικοί Χώροι
Tα σύνολα
και
είναι σώματα ενώ το
δεν είναι σώμα.
To σύνολο
όλων των ρητών αριθμών είναι σώμα.
Ορισμός 2
Aν
![$K,L$](img12.gif)
σώματα και το
![$K$](img1.gif)
περιέχεται στο
![$L$](img13.gif)
τότε λέμε ότι το
![$K$](img1.gif)
είναι
υπόσωμα του
![$L$](img13.gif)
.
Το
είναι υπόσωμα του
και το
είναι υπόσωμα του
.
Λέμε συνήθως ότι ο
είναι διανυσματικός χώρος και εννοούμε ότι ο
είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο
.
Τα στοιχεία του
λέγονται
διανύσματα
Ορισμός 5
Έστω
![$V$](img14.gif)
ένας διανυσματικός χώρος και
![$v_1,\ldots ,v_n\in V$](img39.gif)
.
Αν
![$x_1,\ldots , x_n\in K$](img40.gif)
τότε μια έκφραση της μορφής
καλείται γραμμικός συνδυασμός των
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
.
Θεώρημα 1
Έστω
![$W$](img34.gif)
το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στοιχείων
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
του
![$V$](img14.gif)
.
Tότε το
![$W$](img34.gif)
έιναι υπόχωρος του
![$V$](img14.gif)
.
O παραπάνω υπόχωρος
καλείται ο υπόχωρος που παράγεται από τα
.
Aν ο
τότε λέμε ότι ο
παράγεται από
τα
.
Παραδείγματα 1. Αν
είναι το σύνολο όλων των
-άδων στοιχείων του
.
Αν
και
στοιχεία του
,
oρίζουμε
και
για
κάθε
.
Tότε το
με τις παραπάνω πράξεις είναι
διανυσματικός χώρος πάνω στο
.
2. Αν
διανυσματικός χώρος και
υπόχωροι του
,
τότε το
είναι υπόχωρος του
.
3. Αν
υπόχωροι του διανυσματικού χώρου
τότε ορίζω με
να είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του
της μορφής
όπου
και
.
Το
είναι υπόχωρος του
.
Ορισμός 6
Έστω
![$V$](img14.gif)
ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα
![$K$](img1.gif)
και έστω
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
στοιχεία του
![$V$](img14.gif)
.
Λέμε ότι τα
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
είναι γραμμικώς εξαρτημένα αν υπάρχουν στοιχεία
![$a_1,\ldots ,a_n
\in K$](img56.gif)
όχι όλα ίσα με το μηδεν τέτοια ώστε
Στην αντίθετη περίπτωση λέμε ότι τα στοιχεία
είναι
γραμμικώς ανεξάρτητα. Δηλαδή:
Ορισμός 7
Tα στοιχεία
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
ενός διανυσματικού χώρου
![$V$](img14.gif)
λέγονται
γραμμικώς ανεξάρτητα αν για κάθε
![$n$](img45.gif)
-άδα αριθμών
![$a_1,\ldots ,a_n
\in K$](img56.gif)
για την οποία ισχύει
![$a_1v_1+\ldots +a_nv_n={\bf0}$](img58.gif)
συνεπάγεται
ότι
![$a_i=0$](img59.gif)
για κάθε
![$i=1,\ldots ,n$](img60.gif)
.
Παράδειγμα: Αν
τότε τα διανύσματα
,
,
,
είναι γραμμικώς
ανεξάρτητα.
Ορισμός 8
Aν
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
είναι στοιχεία του
![$V$](img14.gif)
τα οποία παράγουν τον
![$V$](img14.gif)
και
είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε λέμε ότι το σύνολο
![$\{v_1,\ldots ,v_n\}$](img65.gif)
είναι μια βάση του
![$V$](img14.gif)
.
Τα στοιχεία
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
λέμε ότι αποτελούν
βάση του
![$V$](img14.gif)
.
Παράδειγμα: Aν
τότε τα στοιχεία
που
ορίσαμε παραπάνω αποτελούν βάση του
.
Θεώρημα 2
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος και
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
γραμμικώς ανεξάρτητα
στοιχεία του
![$V$](img14.gif)
.
Έστω
![$x_1,\ldots ,x_n$](img67.gif)
και
![$y_1,\ldots ,y_n$](img68.gif)
στοιχεία
του
![$K$](img1.gif)
.
Αν
τότε
![$x_i=y_i$](img70.gif)
για κάθε
![$i=1,\ldots ,n$](img60.gif)
.
Ορισμός 9
Έστω
![$V$](img14.gif)
ένας διανυσματικός χώρος και
![$\{v_1,\ldots ,v_n\}$](img65.gif)
υποσύνολο του
![$V$](img14.gif)
.
Aν
![$r\le n$](img71.gif)
λέμε ότι το σύνολο
![$\{v_1,\ldots ,v_r\}$](img72.gif)
είναι ένα μεγιστικό
υποσύνολο από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα αν τα στοιχεία
![$v_1,\ldots ,v_r$](img73.gif)
είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και τα στοιχεία
![$v_1,\ldots ,v_r,v_i$](img74.gif)
είναι γραμμικώς εξαρτημένα για κάθε
![$i>r$](img75.gif)
.
Ορισμός 10
Αν
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος, λέμε ότι τα
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
παράγουν
τον
![$V$](img14.gif)
αν κάθε στοιχείο του
![$V$](img14.gif)
γράφετε σαν γραμμικώς συνδυασμός
των
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
.
Το σύνολο
![$\{v_1,\ldots ,v_n\}$](img65.gif)
λέγεται
σύνολο γεννητόρων του
![$V$](img14.gif)
.
Θεώρημα 3
Έστω
![$\{v_1,\ldots ,v_n\}$](img65.gif)
ένα σύνολο γεννητόρων του
![$V$](img14.gif)
και έστω
![$\{v_1,\ldots ,v_r\}$](img72.gif)
ένα μεγιστικό υποσύνολο από γραμμικώς
ανεξάρτητων στοιχείa του
![$V$](img14.gif)
.
Τότε το
![$\{v_1,\ldots ,v_r\}$](img72.gif)
είναι μια
βάση του
![$V$](img14.gif)
.
Θεώρημα 4
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα
![$K$](img1.gif)
.
Έστω
![$\{v_1,\ldots
,v_m\}$](img76.gif)
μια βάση του
![$V$](img14.gif)
.
Aν
![$w_1,\ldots ,w_n$](img77.gif)
είναι στοιχεία του
![$V$](img14.gif)
και
![$n>m$](img78.gif)
τότε τα
![$w_1,\ldots ,w_n$](img77.gif)
είναι γραμμικώς
εξαρτημένα.
Θεώρημα 5
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος με μια βάση που αποτελείται από
![$n$](img45.gif)
στοιχεία
και μια βάση που αποτελείται από
![$m$](img79.gif)
στοιχεία. Τότε
![$n=m$](img80.gif)
.
Ορισμός 11
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος και
![${\cal B}$](img81.gif)
μια βάση του
![$V$](img14.gif)
που
αποτελείται από
![$n$](img45.gif)
στοιχεία. Το
![$n$](img45.gif)
καλείται διάσταση του
![$V$](img14.gif)
.
Aν
το
![$V=\{{\bf0}\}$](img82.gif)
τότε το
![$V$](img14.gif)
δεν έχει βάση και η διάστασή του είναι
μηδέν. Αν η βάση του
![$V$](img14.gif)
αποτελείται από πεπερασμένο αριθμό
στοιχείων λέμε ότι ο χώρος έχει πεπερασμένη διάσταση. Στην
αντίθετη περίπτωση λέμε ότι ο χώρος ειναι άπειρης διάστασης. H
διάσταση του
![$V$](img14.gif)
συμβολίζεται με dim
![$V$](img14.gif)
.
Παραδειγμα: Aν
τότε η διάσταση του
είναι
εφόσον το
είναι μια βάση του
.
Ορισμός 12
Έτσω
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα ενός διανυσματικού
χώρου
![$V$](img14.gif)
.
Τα στοιχεία
![$v_1,\ldots ,v_n\in V$](img39.gif)
αποτελούν ένα μεγιστικό
σύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων στοιχείων του
![$V$](img14.gif)
αν για κάθε στοιχείο
![$w\in V$](img85.gif)
τα στοιχεία
![$w,v_1,\ldots , v_n$](img86.gif)
είναι γραμμικώς εξαρτημένα.
Θεώρημα 6
Aν
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος και
![$\{v_1,\ldots ,v_n\}$](img65.gif)
ένα μεγιστικό
υποσύνολο γραμμικώς ανεξάρτητων στοιχείων του
![$V$](img14.gif)
τότε το σύνολο
αποτελεί βάση του
![$V$](img14.gif)
.
Θεώρημα 7
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος διάστασης
![$n$](img45.gif)
και
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του
![$V$](img14.gif)
.
Τότε τα
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
αποτελούν βάση του
![$V$](img14.gif)
.
Πόρισμα 1
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος και
![$W$](img34.gif)
υπόχωρος του
![$V$](img14.gif)
ώστε
dim
![$V=$](img88.gif)
dim
![$W$](img34.gif)
τότε
![$V=W$](img43.gif)
.
Πόρισμα 2
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος διάστασης
![$n$](img45.gif)
.
Έστω
![$r$](img89.gif)
θετικός ακέραιος με
![$r<n$](img90.gif)
και
![$v_1,\ldots ,v_r$](img73.gif)
γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του
![$V$](img14.gif)
.
Τότε
μπορούμε να βρούμε στοιχεία
![$v_{r+1},\ldots ,v_n$](img91.gif)
στον
![$V$](img14.gif)
ώστε τα
![$v_1,\ldots ,v_n$](img42.gif)
να αποτελούν βάση του
![$V$](img14.gif)
.
Θεώρημα 8
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος με βάση που αποτελείται απο
![$n$](img45.gif)
στοιχεία.
Έστω
![$W$](img34.gif)
υπόχωρος του
![$V$](img14.gif)
που δεν αποτελείται μόνο από το
![${\bf0}$](img22.gif)
.
Τότε το
![$W$](img34.gif)
έχει μιά βάση που αποτελέιται απο το πολύ
![$n$](img45.gif)
στοιχεία.
Ορισμός 13
Aν
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος και
![$U,W$](img51.gif)
υπόχωροι του
![$V$](img14.gif)
τέτοιοι ώστε
κάθε στοιχείο
![$v\in V$](img17.gif)
γράφεται κατά μοναδικό τρόπο
![$v=u+w$](img92.gif)
όπου
![$u\in U$](img55.gif)
και
![$w\in W$](img37.gif)
τότε το
![$V$](img14.gif)
λέγεται το ευθύ άθροισμα των
![$U,W$](img51.gif)
.
Θεώρημα 9
Έστω
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος πάνω στο
![$K$](img1.gif)
και
![$U,W$](img51.gif)
υπόχωροι του
![$V$](img14.gif)
.
Aν
![$V=U+W$](img93.gif)
και
![$U \cap W=\{{\bf0}\}$](img94.gif)
τότε το
![$V$](img14.gif)
είναι το ευθύ
άθροισμα των
![$U$](img95.gif)
και
![$W$](img34.gif)
.
Το ευθύ άθροισμα συμβολίζεται
![$V=U\oplus
W$](img96.gif)
.
Θεώρημα 10
Έστω
![$V$](img14.gif)
ένας διανυσματικός χώρος με πεπερασμένη διάσταση πάνω στο
σώμα
![$K$](img1.gif)
και
![$W$](img34.gif)
ένας υπόχωρος του
![$V$](img14.gif)
.
Tότε υπάρχει υπόχωρος του
![$V$](img14.gif)
,
έστω
![$U$](img95.gif)
,
τέτοιος ώστε το
![$V$](img14.gif)
να είναι το ευθύ άθροισμα των
![$W,U$](img97.gif)
.
Θεώρημα 11
Έστω
![$V$](img14.gif)
ένας διανυσματικός χώρος με πεπερασμένη διάσταση πάνω στο
σώμα
![$K$](img1.gif)
με
![$U,W$](img51.gif)
υπόχωρους τέτοιους ώστε
![$V=U\oplus
W$](img96.gif)
.
Τότε
Next: Άσκηση 1
Up: Διανυσματικοί Χώροι
Previous: Διανυσματικοί Χώροι
Vassilis Metaftsis
1999-09-15