Next: Άσκηση 68
Up: Ορίζουσες
Previous: Ορίζουσες
O ορισμός της
ορίζουσας είναι επαγωγικός
Ορισμός 37
Αν
![$A$](img405.gif)
είναι ο
![$2\times 2$](img1033.gif)
πίνακας
![$\left(\begin{array}{cc}
a & b\\
c & d
\end{array}\right)$](img1034.gif)
με στοιχεία στο σώμα
![$K$](img1.gif)
.
Ορίζουμε την ορίζουσα του
![$A$](img405.gif)
,
Υποθέτω ότι έχει ορισθεί η ορίζουσα των
![$(n-1)\times (n-1)$](img1036.gif)
πινάκων. Τότε,
αν
![$A$](img405.gif)
είναι ένας
![$n\times n$](img434.gif)
πίνακας ορίζουμε
Tο παραπάνω λέγεται το ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς την
![$i$](img406.gif)
γραμμή.
Θεώρημα 44
H ορίζουσα ικανοποιεί τον ορισμό του αναπτύγματος, για κάθε στήλη και για
κάθε γραμμή της ορίζουσας δηλαδή
H ορίζουσα κάθε πίνακα είναι ίση με την
ορίζουσα του ανάστροφου του, δηλαδή
![$D(A)=D(A^t).$](img1039.gif)
Θεώρημα 46 (Κανόνας Cramer)
Έστω
![$A^1,\ldots ,A^n$](img718.gif)
διανύσματα στήλες τέτοια ώστε
![$D(A^1,\ldots,A^n)\neq 0.$](img1049.gif)
Έστω
![$B$](img414.gif)
διάνυσμα στήλη. Aν
![$x_1,\ldots ,x_n$](img67.gif)
στοιχεία του
![$K$](img1.gif)
τέτοια ώστε
![$x_1A^1+\ldots +x_nA^n=B$](img1050.gif)
τότε για κάθε
![$j=1,\ldots ,n$](img402.gif)
έχουμε
όπου η στήλη
![$B$](img414.gif)
εμφανίζεται στην
![$j$](img408.gif)
στήλη στην θέση της
![$A^j$](img1040.gif)
.
Θεώρημα 47
Έστω
![$A^1,\ldots ,A^n$](img718.gif)
διανύσματα στήλες διάστασης
![$n$](img45.gif)
.
Aν τα διανύσματα
είναι γραμμικώς εξαρτημένα τότε
![$D(A^1,\ldots,A^n)=0.$](img1052.gif)
Αν
![$D(A^1,\ldots ,A^n)\neq 0$](img1053.gif)
τότε τα
![$A^1,\ldots ,A^n$](img718.gif)
είναι γραμμικώς
ανεξάρτητα.
Πόρισμα 13
Αν
![$A^1,\ldots ,A^n$](img718.gif)
είναι διανύσματα στήλες του
![$K^n$](img894.gif)
τέτοια ώστε
![$D(A^1,\ldots ,A^n)\neq 0$](img1053.gif)
και
![$B\in K^n$](img1054.gif)
τότε υπάρχουν
![$x_1,\ldots ,x_n$](img67.gif)
τέτοια ώστε
Θεώρημα 48
Η ορίζουσα
![$D(A^1,\ldots,A^n)$](img1056.gif)
είναι μηδέν αν και μόνο αν τα
![$A^1,\ldots ,A^n$](img718.gif)
είναι γραμμικώς εξαρτημένα.
Θεώρημα 49
Aν
![$A,B$](img439.gif)
είναι
![$n\times n$](img434.gif)
πίνακες τότε
Πόρισμα 14
Αν
![$A$](img405.gif)
ένας
![$n\times n$](img434.gif)
αντιστρέψιμος πίνακας τότε
Θεώρημα 50
Έστω
![$A=(a_{ij})$](img404.gif)
ένας
![$n\times n$](img434.gif)
πίνακας και
![$D(A)\neq 0$](img1059.gif)
.
Τότε ο
![$A$](img405.gif)
είναι
αντιστρέψιμος. Επιπλέον, αν
![$E^j$](img1060.gif)
είναι τα μοναδιαία διανύσματα στήλες και
τότε ο
![$B=(b_{ij})$](img447.gif)
είναι ο αντίστροφος του
![$A$](img405.gif)
.
Δηλαδή
Next: Άσκηση 68
Up: Ορίζουσες
Previous: Ορίζουσες
Vassilis Metaftsis
1999-09-15