Στοιχεία Θεωρίας

O ορισμός της $n\times n$ ορίζουσας είναι επαγωγικός

Ορισμός 37   Αν $A$ είναι ο $2\times 2$ πίνακας $\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)$ με στοιχεία στο σώμα $K$. Ορίζουμε την ορίζουσα του $A$,

$$\vert A\vert=D(A)=Det(A)=\left\vert\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right\vert=ad-cb.$$

Υποθέτω ότι έχει ορισθεί η ορίζουσα των $(n-1)\times (n-1)$ πινάκων. Τότε, αν $A$ είναι ένας $n\times n$ πίνακας ορίζουμε

$$D(A)=(-1)^{i+1}a_{i1}D(A_{i1})+\ldots +(-1)^{i+n}a_{in}D(A_{in}).$$

Tο παραπάνω λέγεται το ανάπτυγμα της ορίζουσας ως προς την $i$ γραμμή.

Θεώρημα 44   H ορίζουσα ικανοποιεί τον ορισμό του αναπτύγματος, για κάθε στήλη και για κάθε γραμμή της ορίζουσας δηλαδή

$$D(A)=(-1)^{j+1}a_{1j}D(A_{1j})+\ldots +(-1)^{n+j}a_{nj}D(A_{nj}).$$

H ορίζουσα κάθε πίνακα είναι ίση με την ορίζουσα του ανάστροφου του, δηλαδή $D(A)=D(A^t).$

Θεώρημα 45   H ορίζουσα ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

.

Σαν συνάρτηση διανυσμάτων στηλών η ορίζουσα είναι γραμμική, δηλαδή η $j$ στήλη $A^j$ του πίνακα είναι ίση με δύο άλλες στήλες $A^j=C+C'$, τότε

$$D(A^1,\ldots ,C+C',\ldots ,A^n)=D(A^1,\ldots,C,\ldots,A^n)+ D(A^1,\ldots,C',\ldots,A^n).$$

Επιπλέον, αν $k\in K$ τότε

$$D(A^1,\ldots,kA^j,\ldots,A^n)=kD(A^1,\ldots,A^j,\ldots,A^n).$$

.

H ορίζουσα του μοναδιαίου πίνακα είναι ίση με 1, δηλαδή

$$D(I)=1.$$

.

Έστω $i,j$ ακέραιοι με $1\le i,j\le n$ και $i\neq j$. Αν η $i$ στήλη αλλάξει θέση με την $j$ στήλη τότε η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο.

.

Aν οι στήλες $A^j$ και $A^i$ του πίνακα $A$ είναι ίσες $(i\neq j)$ τότε η ορίζουσα του $A$ είναι ίση με μηδέν.

.

Αν σε μιά στήλη μιας ορίζουσας προσθέσουμε ένα $k\in K$ πολλαπλάσιο μιας οποιασδήποτε άλλης στήλης τότε η ορίζουσα δεν αλλάζει.

Θεώρημα 46 (Κανόνας Cramer)   Έστω $A^1,\ldots ,A^n$ διανύσματα στήλες τέτοια ώστε $D(A^1,\ldots,A^n)\neq 0.$ Έστω $B$ διάνυσμα στήλη. Aν $x_1,\ldots ,x_n$ στοιχεία του $K$ τέτοια ώστε $x_1A^1+\ldots +x_nA^n=B$ τότε για κάθε $j=1,\ldots ,n$ έχουμε

$$x_j=\frac{D(A^1,\ldots,B,\ldots,A^n)}{D(A^1,\ldots,A^n)}$$

όπου η στήλη $B$ εμφανίζεται στην $j$ στήλη στην θέση της $A^j$.

Θεώρημα 47   Έστω $A^1,\ldots ,A^n$ διανύσματα στήλες διάστασης $n$. Aν τα διανύσματα είναι γραμμικώς εξαρτημένα τότε $D(A^1,\ldots,A^n)=0.$ Αν $D(A^1,\ldots ,A^n)\neq 0$ τότε τα $A^1,\ldots ,A^n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Πόρισμα 13   Αν $A^1,\ldots ,A^n$ είναι διανύσματα στήλες του $K^n$ τέτοια ώστε $D(A^1,\ldots ,A^n)\neq 0$ και $B\in K^n$ τότε υπάρχουν $x_1,\ldots ,x_n$ τέτοια ώστε

$$x_1A^1+\ldots +x_nA^n=B.$$

Θεώρημα 48   Η ορίζουσα $D(A^1,\ldots,A^n)$ είναι μηδέν αν και μόνο αν τα $A^1,\ldots ,A^n$ είναι γραμμικώς εξαρτημένα.

Θεώρημα 49   Aν $A,B$ είναι $n\times n$ πίνακες τότε

$$D(AB)=D(A)D(B).$$

Πόρισμα 14   Αν $A$ ένας $n\times n$ αντιστρέψιμος πίνακας τότε

$$D(A^{-1})=D(A)^{-1}.$$

Θεώρημα 50   Έστω $A=(a_{ij})$ ένας $n\times n$ πίνακας και $D(A)\neq 0$. Τότε ο $A$ είναι αντιστρέψιμος. Επιπλέον, αν $E^j$ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στήλες και

$$b_{ij}=\frac{D(A^1,\ldots,E^j,\ldots,A^n)}{D(A)}$$

τότε ο $B=(b_{ij})$ είναι ο αντίστροφος του $A$. Δηλαδή

$$A^{-1}=\left(\frac{(-1)^{i+j}Det(A_{ij})}{Det(A)}\right)^t.$$