Λύση

Έστω $x,y,z\in \mathbb R$ με

$$x\sin t+y\cos t+zt=0$$

. Η παραπάνω εξίσωση ισχύει για κάθε $t\in \mathbb R$. Στην παραπάνω εξίσωση αντικαταθηστώ $t=0$ και παίρνω $x0+y1+z0=0$ και άρα $y=0$. Aν αντικαταστήσω $t=\pi/2$ τότε παίρνω $x1+y0+z(\pi/2)=0$ και άρα $x+(\pi/2)z=0$. Tέλος, αν θέσω $t=\pi$ έχω $x0+y(-1)+z\pi=0$ ή ισοδύναμα $-y+\pi z=0$. Η τελευταία αυτή εξίσωση, σε συνδυασμό με το ότι $y=0$ έχω $z=0$ και άρα και $x=0$. Eπομένως τα $f,g,h$ γραμμικώς ανεξάρτητα.