Λύση

Θα δείξουμε ότι η

$${\cal B}=\{(1,0), (i,0), (0,1), (0,i)\}$$

είναι μια βάση του $V$. Έστω ένα $v\in V$. Tότε το $v=(z,w)$ όπου $z,w\in \mathbb C$. Άρα το $v=(a+bi,c+di)$, όπου $a,b,c,d\in\mathbb R$. Tότε το $v=a(1,0)+b(i,0)+c(0,1)+d(0,i)$ άρα το ${\cal B}$ παράγει το $V$. Θα δείξουμε ότι τα στοιχεία του ${\cal B}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Έστω $x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb R$ ώστε

$$x_1(1,0)+x_2(0,i)+x_3(0,1)+x_4(0,i)=(0,0).$$

Τότε, το σύστημα που παίρνουμε είναι

$$\begin{array}{c} x_1+x_2i=0\\ x_3+x_4i=0 \end{array}$$

το οποίο φυσικά δίνει $x_1=x_2=x_3=x_4=0$ και άρα τα στοιχεία του ${\cal B}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Κατα συνέπεια, dim( $\mathbb C\times\mathbb C)=4$.