Λύση

Εύκολα βλέπουμε ότι $A^2=\left(\begin{array}{cc} 1 & 4\\ 0 & 1 \end{array}\right)$ και $A^3=\left(\begin{array}{cc} 1 & 6\\ 0 & 1 \end{array}\right)$. Άρα ο $A^n=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2n\\ 0 & 1 \end{array}\right)$. Πράγματι, για $n=1$ ισχύει. Υποθέτω ότι $A^n=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2n\\ 0 & 1 \end{array}\right)$. Tότε,

$$A^{n+1}=A^nA=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2n\\ 0 & 1 \end{arr... ...ft(\begin{array}{cc} 1 & 2(n+1)\\ 0 & 1 \end{array}\right).$$