Λύση

Αφού η $\sum _{k=1}^\infty a_k$ συγκλίνει, συγκλίνει και η $\sum_{k=2}^\infty a_k =\sum_{k=1}^\infty a_{k+1}$. Άρα συγκλίνει και το άθροισμα τους: $\sum_{k=1}^\infty a_k + \sum_{k=1}^\infty a_{k+1} =\sum_{k=1}^\infty (a_k +a_{k+1} )$. Από την άλλη μεριά $0<\sqrt{a_k a_{k+1}} <\frac{a_k +a_{k+1}}{2}$ για κάθε $k\in \mathbb N$, οπότε από το κριτήριο σύγκρισης η $\sum_{k=1}^\infty \sqrt{{a_k} a_{k+1}}$ συγκλίνει.

Έστω τώρα οτι η $\{ a_k \}$ είναι φθίνουσα και οτι η $\sum_{k=1}^\infty \sqrt{{a_k} a_{k+1}}$ συγκλίνει. Αφού $a_k \geq a_{k+1}$, έχουμε $0<\sqrt{a_{k+1} a_{k+1}} \leq \sqrt{a_k a_{k+1}}$ δηλαδή $0<α_{κ+1} \leq \sqrt{a_k a_{k+1}}\ ,\ k\in \mathbb N$.

Από το κριτήριο σύγκρισης, η $\sum _{k=1} ^\infty a_{k+1} = \sum _{k=2} ^\infty a_k$ συγκλίνει. Άρα και η $\sum _{k=1} ^\infty a_κ$ συγκλίνει.

Άσκηση 6 Υπόδειξη