Λύση

Έστω $x> \limsup \frac{a_{k+1}}{a_k}$. Πεπερασμενοι το πλήθος όροι της $\{ \frac{a_{k+1}}{a_k} \}$ μπορούν να ξεπεράσουν το $x$, υπάρχει δηλαδή $k_0 \in \mathbb N$ ώστε αν $k\geq k_0$ τότε $a_{k+1}<x a_k$. Δηλαδή αν $k>k_0$ τότε $a_k < x a_{k-1} < \cdots < x^{k-k_0} a_{k_0}=\frac{a_{k_0}}{x^{k_0}} x^k$. Έπεται οτι,

$$\sqrt[k]{a_k} <\sqrt[k]{\frac{a_{k_0}}{x^{k_0}}} x \rightarrow x$$

Άρα, $\limsup \sqrt[k]{a_k} <x$ και αφού το $x$ μπορεί να επιλεγεί οσοδήποτε κοντά στο $\limsup \frac{a_{k+1}}{a_k}$, παίρνουμε

$$\limsup \sqrt[k]{a_k} \leq \limsup\ \frac{a_{k+1}}{a_k}$$

.

Η μεσαία ανισότητα είναι προφανής, ενώ η αριστερή αποδεικνύεται με ανάλογο τρόπο. Ας υποθέσουμε οτι το κριτήριο του λόγου δείχνει σύγκλιση σειράς τότε, $\limsup \frac{a_{k+1}}{a_k} <1$ οπότε $\limsup \sqrt[k]{a_k} <1$, άρα και το κριτήριο της ρίζας δείχνει σύγκλιση σειράς. Αν το κριτήριο της ρίζας δεν δείχνει τίποτε, τότε $\limsup \sqrt[k]{a_k} =1\Rightarrow \limsup \frac{a_{k+1}}{a_k} \geq 1$, άρα ούτε το κριτήριο του λόγου δείχνει κάτι (είναι και $\liminf \frac{a_{k+1}}{a_k}\leq \liminf \sqrt[k]{a_k} \leq 1).$

Άσκηση 9 Υπόδειξη