Λύση

Εφαρμόζουμε το κριτήριο του Weierstrass: αν $f_k(t)=\alpha _k \sin kt$, τότε

$$\vert f_k(t)\vert=\vert\alpha _k \sin kt\vert\leq \vert\alpha _k\vert\ ,\ t\in \mathbb R$$

. Η σειρά $\sum ^\infty _{k=1} \vert\alpha _k\vert$ συγκλίνει από την υπόθεση, άρα η $\sum ^\infty _{k=1} \alpha _k \sin kt = \sum ^\infty _{k=1} f_ k(t)$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο $\mathbb R$.

Ανάλογα για την $\sum ^\infty _{k=1} \alpha _k \cos kt$.

Άσκηση 1 Υπόδειξη