Λύση

Είναι $\sin \left(1+\frac{t}{k}\right)=\sin 1 \cos\left(\frac{t}{k}\right) + \cos1 \sin \left(\frac{t}{k}\right)$, άρα,

$$\sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \sin\left(1+\frac... ...{(-1)^k}{\sqrt{k}} \cos 1 \sin \left(\frac{t}{k}\right)\Bigr \}$$

Εξετάζουμε χωριστά τις:

$$\sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \cos\left(\frac{t... ...fty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\sin \left(\frac{t}{k}\right)$$

στο $[-A, A]$

Για την $\sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\sin \left(\frac{t}{k}\right): \ \v... ...right)\vert \leq \frac{\vert t\vert}{\sqrt{k}k} \leq \frac{A}{k^{\frac{3}{2}}}$ και η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{A}{k^{\frac{3}{2}}}$ συγκλίνει, οπότε από το κριτήριο του Weierstrass η

$$\sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\sin \left(\frac{t}{k}\right)$$

συγκλίνει ομοιόμορφα στο $[-A, A]$.

Για την $\sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \cos\left(\frac{t}{k}\right):$ Η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}$ συγκλίνει, άρα συγκλίνει ομοιόμορφα στο $[-A, A]$ αν την δούμε σαν σειρά (σταθερών) συναρτήσεων. Επίσης $\vert \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\cos\left(\frac{t}{k}\right) - \frac{(-1)^k}{\sqrt... ...\vert \leq \frac{1}{2\sqrt{k}} \frac{t^2}{k^2}\leq \frac{A^2}{2k^{\frac{3}{2}}}$ οπότε το κριτήριο του Weierstrass μας δίνει οτι η

$$\sum ^\infty _{k=1} \Bigl\{ \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\cos\left(\frac{t}{k}\right) - \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\Bigr\}$$

συγκλίνει ομοιόμορφα στο $[-A, A]$. Προσθέτοντας, έχουμε οτι η

$$\sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\cos\left(\frac{t}{k}\right)$$

συγκλίνει ομοιόμορφα στο $[-A, A]$.

Έπεται οτι η

$$\sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \sin\left( 1+\frac{t}{k}\right)=$$

$$=\sin 1 \sum ^\infty _{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \cos\lef... ..._{k=1} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \sin\left( 1+\frac{t}{k}\right)$$

συγκλίνει ομοιόμορφα στο $[-A, A]$.

Άσκηση 4 Υπόδειξη