next up previous
Next: Γενικευμένα ολοκληρώματα Up: Άσκηση 7 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Έστω $0<t<1$. Δείχνουμε οτι οι σειρές $ \sum ^\infty _{k=1}\frac{t^{2k+1}}{2k+1}\ ,\ \sum ^\infty _{k=1}\frac{t^{k+1}}{2k+2}$ συγκλίνουν, χρησιμοποιώντας το κριτήριο του λόγου:
(i)    αν $\alpha _k = \frac{t^{2k+1}}{2k+1}$, τότε $\frac{\vert\alpha _{k+1}\vert}{\vert\alpha _k\vert}=
\frac{t^{2k+3}}{2k+3}\ \frac{2k+1}{t^{2k+1}} = \frac{2k+1}{2k+3}\ t^2\rightarrow t^2 <1$


(ii)    αν $\beta _k = \frac{t^{k+1}}{2k+2}$, τότε $\frac{\vert\beta _{k+1}\vert}{\vert\beta _k\vert}=
\frac{t^{k+2}}{2k+4} \frac{2k+2}{t^{k+1}}= \frac{2k+2}{2k+4}\ t \rightarrow t<1$

Προσθέτοντας, βλέπουμε οτι η $ \sum ^\infty _{k=0} \left( \frac{t^{2k+1}}{2k+1}- \frac{t^{k+1}}{2k+2}\right) $ συγκλίνει

Αν $t=0$ ή $t=1$, είναι φανερό οτι η $ \sum ^\infty _{k=0} \left( \frac{t^{2k+1}}{2k+1}- \frac{t^{k+1}}{2k+2}\right) $ συγκλίνει (γιατί?). Άρα, η σειρά συγκλίνει κατά σημείο στο $[0,1]$.

Έχουμε δει οτι: $ \sum ^\infty _{k=0} \frac{t^{k+1}}{k+1}=\log\left( \frac{1}{1-t}\right)$, αν $-1<t<1$. Άρα,

\begin{eqnarray*}
\sum ^\infty _{k=1}\frac{t^{2k}}{2k} &=& \frac{1}{2} \sum ^\in...
...2)^2}{k} \\
&=& \frac{1}{2} \log\left( \frac{1}{1-t^2}\right)
\end{eqnarray*}



Άρα,

\begin{eqnarray*}
\sum ^\infty _{k=0} \frac{t^{2k+1}}{2k+1} &=& \sum ^\infty _{...
...{1}{1-t}\right) - \frac{1}{2}
\log\left(\frac{1}{1-t^2}\right) .
\end{eqnarray*}



Έπεται οτι: $ \sum ^\infty _{k=0} \left( \frac{t^{2k+1}}{2k+1}- \frac{t^{k+1}}{2k+2}\right) ...
...{1}{2}\log \left( \frac{1-t^2}{1-t}\right) = \frac{1}{2}\log(1+t)\ ,\ 0\leq t<1$. Αν η σύγκλιση της σειράς ήταν ομοιόμορφη στο $[0,1]$, θα έπρεπε η οριακή συνάρτηση να είναι συνεχής στο $[0,1]$, άρα

\begin{displaymath}\sum ^\infty _{k=0}\left( \frac{1}{2k+1}- \frac{1}{2k+2}\right) = \frac{1}{2}\log(1+1)=\frac{\log 2}{2}\end{displaymath}

Δηλαδή,

\begin{displaymath}\sum ^\infty _{k=1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\frac{\log 2}{2}\end{displaymath}

Όμως, το τελευταίο άθροισμα είναι ίσο με $\log 2$. Άτοπο.

Άσκηση 7 Υπόδειξη

Άσκηση 8 Υπόδειξη



root
1999-07-29