next up previous
Next: Άσκηση 7 Up: Άσκηση 6 Previous: Υπόδειξη


Λύση

(α)    

\begin{eqnarray*}
x \int ^\infty _1 \frac{[t]}{t^{x+1}} dt &=&
x\sum ^\infty _{n...
...igr) \\
&=& \sum ^\infty _{n=1} \frac{1}{n^x} \\
&=& \zeta (x)
\end{eqnarray*}



Όμως η $\sum_1^\infty \frac1{n^x}$ είναι γνωστό οτι συγκλίνει για $x>1$.


(β)     

\begin{eqnarray*}
\frac{x}{x-1} -x\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^{x+1}}\,dt &=& \f...
...1} -x \left( 0-\frac1{-x+1} \right) +\zeta (x)\\
&=& \zeta (x)
\end{eqnarray*}



Αυτό το ολοκλήρωμα συγκλίνει για κάθε $x>0$ αφού $\bigm\vert t-[t]\bigm\vert \leq 1 \ \forall t\in\mathbb R$ οπότε

\begin{displaymath}\int_1^\infty \Bigm\vert \frac{t-[t]}{t^{x+1}} \Bigm\vert\,dt\leq\infty_1^\infty \frac1{t^{x+1}}\,dt\end{displaymath}

το οποίο συγκλίνει αφού $x+1>1$.

Άσκηση 6 Υπόδειξη



root
1999-07-29