Λύση

(α)    Η $\frac{\log x}{x}$ έχει παράγωγο $\frac{1-\log x}{x^2}$, άρα είναι φθίνουσα στο $(e, +\infty)$. Οπότε η $\frac{\log k}{k}$ για $k\geq 3$ είναι φθίνουσα άρα η εναλλάσσουσα σειρά $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{logk}{k}$ συγκλίνει αφού $\frac{\log k}{k} \searrow 0$.
(β)     Αν $a\leq 0$ τότε $a_k =(-1)^k \frac1{k^a} \not\rightarrow 0$ άρα η σειρά $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{1}{k^a} \ ,\ a \in \mathbb R$ συγκλίνει.

Άσκηση 3 Υπόδειξη