2.6. Εστω m ένα κάτω φράγμα του Α. Το μη κενό Α περιέχει κάποιο φυσικό αριθμό k.
Για κάθε φυσικό αριθμό
n, θεωρώ την πρόταση P(n):Κάθε υποσύνολο του Ζ που έχει κάτω φράγμα τον m και περιέχει ένα από τους
m, m + 1, …, m + n - 1 έχει ελάχιστο στοιχείο.
Αρκεί προφανώς να δείξω ότι η P(n)
ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n.Αυτό γίνεται με επαγωγή:
(ι) Ειναι προφανές ότι ισχύει η P(1). (ιι). Εστω ότι ισχύει η P(n).
Aρκεί τώρα να δείξω ότι ισχύει και η P(n + 1).
Θεωρώ λοιπόν υποσύνολο Β του Ζ που έχει κάτω φράγμα τον m και περιέχει
ένα από τους m, m + 1, …, m + n. Αν το Β περιέχει ένα από τους m, m + 1, …, m + n - 1,
τότε η P(n) μας εξασφαλίζει ότι το Β έχει ελάχιστο στοιχείο.
Αν το Β δεν περιέχει ένα από τους m, m + 1, …, m + n - 1, τότε ο m + n είναι το ελάχιστο
στοιχείο του Β. Αρα η P(n + 1) ισχύει. Ο.ε.δ.