2. Αποδείξεις

Οι ποσοδείκτες $ , $ !, " ; αντιπαραδείγματα. H εις άτοπον επαγωγή.

 

Αρχή μαθηματικής επαγωγής: Εστω P(n) μια πρόταση για κάθε φυσικό αριθμό n. Αν (ι) η P(1) ισχύει και (ιι) η P(n) συνεπάγεται την P(n + 1), τότε η P(n) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό n.

 

Θεώρημα 2.1. (Αρχή καλής διάταξης). Κάθε μη κενό υποσύνολο του Ν έχει ελάχιστο ( πρώτο) στοιχείο.

 

Aσκήσεις

 

Ποιες από τις προτάσεις 2.1.- 2.5. ισχύουν και ποιες όχι; Οπου η απάντησή σας είναι αρνητική, αποδείξτε την.

2.1. " x R, έχουμε x2 > 0.

Λύση

2.2. " x R, $ y R με xy = 1.

Λύση

2.3. " x R*, $ y R* με xy = 1.

Λύση

2.4. " x R+, $ ! y R+ με xy = 1.

Λύση

2.5. $ ! x R+ με x2 = 1.

Λύση

2.6. (Μια άλλη μορφή της αρχής της καλής διάταξης). Να δείξετε ότι κάθε μη κενό, κάτω φραγμένο υποσύνολο Α του Ζ έχει ελάχιστο στοιχείο.

Λύση

2.7. Να δείξετε ότι κάθε μη κενό, άνω φραγμένο υποσύνολο Β του Ζ έχει μέγιστο στοιχείο.

Λύση

2.8. (Μια άλλη μορφη επαγωγής). Εστω k ακέραιος και για κάθε ακέραιο n k, P(n) πρόταση τ.ω. (ι) η P(k) ισχύει και (ιι) η P(n) συνεπάγεται την P(n+1).

Χρησιμοποιώντας την 2.6. να δείξετε ότι η P(n) ισχύει για κάθε n k.

Λύση

2.9. (Πλήρης επαγωγή). Εστω k ακέραιος και Q(n) πρόταση για κάθε ακέραιο n k. Δεδομένου ότι 

(1) η Q(k) ισχύει και 

(2) οι προτάσεις Q(m), k m n μαζί συνεπάγονται την Q(n+1) για κάθε n k, 

να δείξετε ότι η Q(n) ισχύει για κάθε n k.

Λύση

2.10. Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, 2 + 4 + 6 +...+ 2n = n(n+1).

Λύση

2.11. Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, 1 + 3 + 5 +...+ (2n 1) = n2.

Λύση

2.12. Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, το σύνολο {1, 2, 3, ... , n} έχει 2n υποσύνολα.

Λύση

2.13. Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n 10, 2n > n3.

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα