Λύση

Επειδή $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ έχουμε ότι για κάθε $Μ \in \mathbb R$ υπάρχει $Μ'\in \mathbb R,$ τέτοιο ώστε για κάθε $x$ με $x > M'$ να έχουμε $f(x) < M$.

Επίσης, επειδή $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = -\infty$ έχουμε ότι για κάθε $K \in \mathbb R$ υπάρχει $Κ'\in \mathbb R$, τέτοιο ώστε για κάθε $x$ με $x < Κ'$ να έχουμε $f(x) < K$.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα $M, K$ είναι τέτοια ώστε $\max \{K, M \} < f(x_0)$ για κάποιο $x_0 \in \mathbb R$ και ότι $Κ' < M'$ (γιατί;). Οπότε $x_0 \in [Κ', M']$. Στο διάστημα $[Κ', M']$ η συνάρτηση είναι συνεχής και άρα σύμφωνα με γνωστό θεώρημα έχει μέγιστο, έστω $L = f(x_1), \;x_1 \in [Κ', M']$. Ο αριθμός $L$ είναι και φράγμα της συνάρτησης αφού για $x \in ( - \infty, Κ'] \cup [M', +\infty)$ είναι

$$f(x) \leq \max \{K, M \} < f(x_0) \leq L = f(x_1).$$

και άρα έχουμε δείξει τα (i) και (ii).

Δεν υπάρχει τέτοιο σημείο $x_2 \in {\mathbb R}$ τέτοιο ώστε $f(x_2)\leq f(x),\; x \in {\mathbb R}$, αφού $\lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = -\infty$ και άρα η συνάρτηση δεν είναι κάτω φραγμένη. Η ύπαρξη τέτοιου σημείου θα σήμαινε ότι η συνάρτηση είναι κάτω φραγμένη.

'Ασκηση 7 Υπόδειξη