Έστω Α, Β δύο σημεία πάνω στην σφαίρα ακτίνας α > 0. Θα αποδείξουμε ότι f(A) = f(B). Από τις ασκήσεις 2 και 3 υπάρχει καμπύλη C(t) η οποία διέρχεται από τα Α, Β και ευρίσκεται πάνω σ' αυτή την σφαίρα. Έστω

g(t) = f (C(t)).

Aπό τον κανόνα της αλυσίδας

g'(t) = grad f(C(t))· C'(t)

k(C(t))C(t) · C'(t)

Άρα g'(t)=0, δηλαδή η g και κατ' επέκταση η f είναι σταθερή πάνω στην καμπύλη C(t). Έτσι f(A) = f(B). Επειδή αυτή η ισότητα ισχύει για κάθε Α, Β πάνω στην σφαίρα έχουμε οτι η f είναι σταθερή πάνω σ΄αυτή.

[Επιστροφή]