με g: R® R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Παραδείγματα: 1. Η συνάρτηση g της άσκησης 4 του κεφαλαίου 8.

2.

Παρατηρούμε ότι

Με τις αντικαταστάσεις

 παίρνουμε

 οπότε

Η παραπάνω σχέση λέει ότι αν η f στο Χ εξαρτάται μόνο από την απόσταση του Χ από την αρχή, τότε το gradf(Χ) είναι παράλληλο στο Χ.

Θεώρημα: Μια συνάρτηση f στο Χ εξαρτάται μόνο από την απόσταση του Χ από την αρχή αν και μόνο αν το gradf(Χ) είναι παράλληλο στο Χ.

Προσοχή: αυτο σημαίνει ότι gradf(X) = h(X)X, h μια συνάρτηση του Χ, και όχι gradf(X) = cX, c μια σταθερά.

Ασκήσεις

1. Έστω Α, Β δύο σημεία πάνω στην σφαίρα με κέντρο το 0 και ακτίνα 1 και Γ(τ) = Α+τ(Β-Α), τ[0, 1]. Αν υπάρχει λ[0,1] τ.ω. Γ(λ)=0 να δείξετε ότι λ=1/2 και Α=-Β. [Λύση]

2. Έστω Α, Β δύο μοναδιαία διανύσματα με Α· Β=0 και Φ(τ)=cosτΑ+sinτΒ. Να δείξετε ότι το Φ(τ) ευρίσκεται στην σφαίρα με κέντρο την αρχή και ακτίνα 1. [Yπόδειξη] [Λύση]

3. Έστω Α, Β πάνω στην σφαίρα με κέντρο την αρχή και ακτίνα 1 με Α-Β. Να δείξετε ότι υπάρχει (διαφορίσιμη) καμπύλη που ενώνει τα Α, Β και ευρίσκεται πάνω στη σφαίρα. [Yπόδειξη] [Λύση]

4. Να γίνει το ίδιο όταν Α=-Β. [Yπόδειξη] [Λύση]

5. Έστω f διαφορίσιμη συνάρτηση δύο μεταβλητών τ.ω. gradf(X) = cX, cR, XR². Nα δειχθεί ότι η f είναι σταθερή πάνω σε κάθε σφαίρα με κέντρο την αρχή. [Yπόδειξη] [Λύση]

6. Έστω f διαφορίσιμη συνάρτηση 3 μεταβλητών τ.ω. gradf(X) = k(X)X, XR³ , k: R³ ® R. Nα δειχθεί ότι η f είναι σταθερή πάνω σε κάθε σφαίρα με κέντρο την αρχή. [Yπόδειξη] [Λύση]

[Περιεχόμενα]