ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
- ΟΡΙΣΜΟΙ
Έστω
ανοιχτό
διάστημα (φραγμένο ή μη) (
)
και
ανοιχτό υποσύνολο του
,
.
Ορισμός 1:
Αν
είναι μια πραγματική
συνάρτηση
μεταβλητών
και
μια
άγνωστη συνάρτηση, η εξίσωση
, (1)
όπου
,
,
ονομάζεται συνήθης
διαφορική εξίσωση (Σ.Δ.Ε.).
Ορισμός 2
: Η (1)
ονομάζεται Σ.Δ.Ε. τάξης
όταν η συνάρτηση
δεν είναι σταθερή ως προς
τη μεταβλητή
, δηλ.
όταν η μεγαλύτερης τάξης παράγωγος της
άγνωστης συνάρτησης που εμφανίζεται στην
εξίσωση είναι η
.
Ορισμός 3
: Ονομάζουμε
λύση της (1) κάθε
πραγματική συνάρτηση
η οποία είναι
φορές παραγωγίσιμη στο
ενώ παράλληλα για κάθε
ισχύουν τα εξής:
,
και
.
Το
στην
εξίσωση (1) ονομάζεται ανεξάρτητη
μεταβλητή και το
άγνωστη συνάρτηση. Το
γράφημα μιας λύσης
ονομάζεται ολοκληρωτική
καμπύλη της (1).
Ορισμός 4
: Αν μια Σ.Δ.Ε.
τάξης
μπορεί να γραφεί στη μορφή
, (2)
όπου
είναι
μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα
ανοικτό υποσύνολο
του
,
τότε θα λέμε ότι η (2) είναι η κανονική
ή λυμένη της
μορφή.
Σημείωση:
H μορφή (1)
μιας Σ.Δ.Ε. θα λέγεται γενική ή
πεπλεγμένη.
Ορισμός 5
: Έστω ότι
δίνεται η διαφορική εξίσωση (2) και ένα
σημείο
του
πεδίου ορισμού της
.
Το πρόβλημα της εύρεσης
μιας λύσης της (2) η οποία ικανοποιεί τις
συνθήκες
![](Image981.gif)
,
(3)
λέγεται πρόβλημα αρχικών τιμών ή
πρόβλημα Cauchy για
την (2).
Οι συνθήκες (3) ονομάζονται αρχικές
συνθήκες ή συνθήκες Cauchy.
Ορισμός 6
: Μια
συνάρτηση
(4)
που εξαρτάται από
πραγματικές σταθερές
,
θα λέγεται γενική
λύση της διαφορικής
εξίσωσης (2) όταν
(i) για κάθε σημείο
,
όπου
ανοικτό υποσύνολο του
,
η (1.4) είναι λύση της (2)
και
(ii) για κάθε σημείο
,
όπου
ανοικτό υποσύνολο του
πεδίου ορισμού
της
,
υπάρχει ακριβώς ένα
σημείο
τέτοιο
ώστε η
να
ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (3).
Η λύση που παίρνουμε για μια συγκεκριμένη
επιλογή των σταθερών
,
ονομάζεται μερική λύση
της διαφορικής εξίσωσης (2).
Ορισμός 7
: Αν
είναι ένα ανοικτό
υποδιάστημα του
,
θα λέμε ότι το σύστημα
,
,
![](Image998.gif)
παράγει τη λύση
της
(2) υπό παραμετρική μορφή αν
και μόνον αν οι συναρτήσεις
,
είναι
φορές
παραγωγίσιμες, η
είναι αντιστρέψιμη και η
σύνθετη συνάρτηση
![](Image1003.gif)
είναι λύση της (2).
Ορισμός 8
: Το
σύστημα των
ισοτήτων
,
…….……………………….. (5)
,
θα λέμε ότι αποτελεί ένα γενικό
ολοκλήρωμα
της (2) όταν
για κάθε σημείο
, όπου
ανοικτό
υποσύνολο του
, υπάρχει
λύση
της
(2) η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις (5) και,
αντίστροφα, όταν κάθε
φορές παραγωγίσιμη
συνάρτηση
η
οποία ικανοποιεί τις (5) είναι λύση της (2).
Παρατήρηση:
H διαδικασία
προσδιορισμού των λύσεων μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται επίλυση
ή ολοκλήρωση της
εξίσωσης.
[Επιστροφή
στα Περιεχόμενα]