Λύση
Η εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών
αφού γράφεται στη μορφή
, (1)
και
άρα
,
ή
, (2)
όπου
είναι
μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. Για να
προσδιορίσουμε τη λύση που ικανοποιεί
την αρχική συνθήκη, θέτουμε
και
στην (2) και
βρίσκουμε ότι
.
Έτσι, η λύση του δοθέντος
προβλήματος αρχικών τιμών δίνεται σε πεπλεγμένη
μορφή από τη
σχέση
. (3)
Για να βρούμε τη μορφή της
συνάρτησης
θα
πρέπει να επιλύσουμε την (3) ως προς
,
κάτι που στη συγκεκριμένη
περίπτωση είναι πολύ
εύκολο αφού η (3) είναι
πολυωνυμική 2ου βαθμού
ως προς
, και
έχουμε
. (4)
Όμως
η (4) δίνει δύο
διαφορετικές λύσεις της διαφορικής
εξίσωσης εκ των οποίων μόνο αυτή με το
αρνητικό πρόσημο ικανοποιεί
την αρχική συνθήκη
.
Συνεπώς, η μορφή της συνάρτησης
δίνεται
από την
. (5)
Το μέγιστο διάστημα της
ανεξάρτητης
μεταβλητής
στο
οποίο ορίζεται η λύση του προβλήματος προσδιορίζεται
από το
αντίστοιχο διάστημα για το οποίο η ποσότητα
μέσα στην τετραγωνική ρίζα
της (5) είναι
αυστηρά (γιατί;) θετική.
Έτσι, επειδή
![](Image1999.gif)
συμπεραίνουμε άμεσα ότι το μέγιστο πεδίο
ορισμού της
λύσης είναι
το
.
[Επιστροφή
στην Άσκηση 3]