Λύση

Αφού και , ο αναδρομικός τύπος της ακολουθίας των διαδοχικών προσεγγίσεων έχει τη μορφή

, (1)

Επιλέγοντας ως αρχική προσέγγιση και εφαρμόζοντας την (1) για , παίρνουμε διαδοχικά

,

,

.

Παρατηρώντας την μορφή των τριών πρώτων προσεγγίσεων είναι φυσικό να εικάσουμε ότι γενικά ισχύει ο ακόλουθος τύπος

, (2)

Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού θα εφαρμόσουμε απλή μαθηματική επαγωγή. Κατ΄αρχήν έχουμε ήδη εξασφαλίσει ότι ο τύπος (2) ισχύει για . Υποθέτοντας τώρα ότι ισχύει για κάποιο και εφαρμόζοντας την (1) παίρνουμε

  ,

και άρα ο τύπος (2) ισχύει και για . Αποδείξαμε έτσι ότι ο γενικός όρος της ακολουθίας δίνεται από την σχέση (2). Παρατηρούμε επίσης ότι η παράσταση στο δεξιό μέλος της (2) είναι το νυοστό μερικό άθροισμα της δυναμοσειράς

,

η οποία όπως εύκολα προκύπτει (π.χ. κάνοντας χρήση του κριτηρίου D’Alembert) συγκλίνει για κάθε . Κατά συνέπεια το όριο της ,καθώς , υπάρχει για κάθε και μάλιστα

,

αφού η (3) είναι η γνωστή σειρά MacLaurin για την συνάρτηση . Τέλος, με απ’ ευθείας αντικατάσταση στο πρόβλημα αρχικών τιμών βλέπουμε ότι η είναι όντως λύση.

 

[Επιστροφή στην Άσκηση 2]