Λύση
Αφού
και
, ο
αναδρομικός τύπος της ακολουθίας των
διαδοχικών προσεγγίσεων έχει τη μορφή
,
(1)
Επιλέγοντας ως αρχική προσέγγιση
και
εφαρμόζοντας την (1) για
,
παίρνουμε διαδοχικά
,
,
.
Παρατηρώντας την μορφή των τριών πρώτων
προσεγγίσεων είναι φυσικό να εικάσουμε ότι
γενικά ισχύει ο ακόλουθος τύπος
,
(2)
Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού θα
εφαρμόσουμε απλή μαθηματική επαγωγή.
Κατ΄αρχήν έχουμε ήδη εξασφαλίσει ότι ο
τύπος (2) ισχύει για
.
Υποθέτοντας τώρα ότι ισχύει
για κάποιο
και
εφαρμόζοντας την (1) παίρνουμε
![](Image2035.gif)
,
και άρα ο τύπος (2) ισχύει και για
.
Αποδείξαμε έτσι ότι ο
γενικός όρος της ακολουθίας
δίνεται από την σχέση (2).
Παρατηρούμε επίσης ότι η παράσταση στο
δεξιό μέλος της (2) είναι το νυοστό μερικό
άθροισμα της δυναμοσειράς
,
η οποία όπως
εύκολα
προκύπτει (π.χ. κάνοντας
χρήση του κριτηρίου D’Alembert) συγκλίνει για
κάθε
. Κατά
συνέπεια το
όριο της
,καθώς
, υπάρχει
για κάθε
και
μάλιστα
,
αφού η (3) είναι η γνωστή σειρά MacLaurin
για
την συνάρτηση
. Τέλος,
με απ’
ευθείας αντικατάσταση στο
πρόβλημα αρχικών
τιμών βλέπουμε ότι η
είναι
όντως λύση.
[Επιστροφή
στην Άσκηση 2]