Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών

, (1)

, (2)

όπου το σημείο παίρνει τιμές σ’ ένα ανοικτό και απλά συνεκτικό υποσύνολο του με ενώ η συνάρτηση είναι συνεχής. Η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων, η οποία οφείλεται στον Γάλλο μαθηματικό Emile Picard (1856 – 1941), συνίσταται στην εύρεση μιας ακολουθίας προσεγγιστικών λύσεων του προβλήματος (1), (2) και βασίζεται στην ακόλουθη απλή:

Πρόταση : Κάθε λύση του προβλήματος αρχικών τιμών (1), (2), είναι επίσης λύση της ολοκληρωτικής εξίσωσης

, (3)

Ως αρχική προσέγγιση της λύσης θεωρούμε μια τυχαία ολοκληρώσιμη συνάρτηση , το γράφημα της οποίας διέρχεται από το σημείο . Για παράδειγμα, μια καλή εκλογή της είναι η σταθερή συνάρτηση

. (4)

, (5)

όπου , ή ισοδύναμα από τον αναδρομικό τύπο

, (6)

, , , ……, (7)

οι όροι της οποίας αποτελούν τις κατά Picard προσεγγίσεις της λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών (1), (2). Βεβαίως η διαδικασία αυτή έχει νόημα εφ’ όσον μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημειακή σύγκλιση, δηλαδή ότι ισχύει

για κάθε σε μια περιοχή του σημείου και ότι η συνάρτηση όριο είναι πράγματι λύση του προβλήματος (1), (2).

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]

1. Υπολογίστε τις κατά Picard προσεγγίσεις και για το πρόβλημα αρχικών τιμών:

, ,

αν . [Λύση]

2. Υπολογίστε το γενικό όρο της ακολουθίας των κατά Picard προσεγγίσεων για το πρόβλημα αρχικών τιμών:

, ,

αν . Δείξτε στη συνέχεια ότι υπάρχει το όριο της καθώς και ότι είναι λύση του παραπάνω προβλήματος. [Λύση]

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]