Στο κεφάλαιο αυτό το n παριστάνει φυσικό αριθμό ³ 2.

Εστω a₁, a₂ … a_m διακεκριμένα μέλη του {1, 2, …, n}. Tοτε (a₁, a_2, …, a_m) συμβολίζει την μετάθεση που στέλνει το a₁ στο a₂, το a₂ στο a₃ … το a_m-1 στο a_m, το a_m στο a₁ και αφήνει τα υπόλοιπα στοιχεία αμετάβλητα. Είναι προφανώς μέλος της S_n τάξεως m. Λέγεται κύκλος μήκους m.

Κύκλοι μήκους 2 λέγονται αντιμεταθέσεις, π.χ., (1, 2), (3, 4).

Λήμμα 13.1. Δύο ξένοι κύκλοι α, β αντιμετατίθενται, δηλαδή αβ = βα.

Λήμμα 13.2. (a₁, a₂ … a_m) = (a₂, a₃ … a_m, a₁) = … = (a_i, a_i+1, … a_m, a₁, a₂ …a_i-1).

Εστω σ S_n. Ορίζεται σχέση ~ στο {1, 2, …, n} με a ~ b ανν b = σ^m(a) για κάποιο m Z.

Λήμμα 13.3. Η ~ είναι σχέση ισοδυναμίας.

Η κλάση ισοδυναμίας στοιχείου a λέγεται η τροχιά του a ως προς την σ, και συμβολίζεται με [a].

Λήμμα 13.4. Υπάρχει φυσικός αριθμός m τ.ω σ^m(a) = a. Αν m είναι ο ελάχιστος τέτοιος αριθμός, τότε η [a] αποτελείται από τα διακεκριμένα στοιχεία a, σ(a), σ²(a), … σ^m-1(a).

Η τροχιά του a ορίζει τον κύκλο (a, σ(a), σ²(a), …, σ^m-1(a)), ο οποίος στέλνει κάθε μέλος b της τροχιάς στο σ(b) και αφήνει τα άλλα στοιχεία αμετάβλητα.

Θεώρημα 13.1. Η σ ειναι το γινόμενο των ξένων κύκλων που ορίζουν οι διακεκριμένες τροχιές της.

Λήμμα 13.5. Κάθε κύκλος είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων.

Απόδειξη. (a₁, a₂, …,a_κ) = (a₁, a_κ) … (a₁, a₃)(a₁, a₂).

Θεώρημα 13.2. Κάθε μετάθεση είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων.

Μια μετάθεση λέγεται άρτια (αντίστοιχα, περιττή) αν γράφεται ως γινόμενο αρτίου (αντ. περιττού) το πλήθος αντιμεταθέσεων.

Τ(σ) συμβολίζει το πλήθος των τροχιών της σ.

Λήμμα 13.6. Εστω σ μετάθεση και τ αντιμετάθεση του S_n. Τότε Τ(τσ) – Τ(σ) = 1.

Λήμμα 13.7. Εστω σ μετάθεση και τ₁, τ₂ αντιμεταθέσεις του S_n. Τότε ο αριθμός Τ(τ₁τ₂σ) – Τ(σ) είναι ζυγός.

Λήμμα 13.8. Εστω σ μετάθεση και τ₁, τ₂, … , τ_2m+1 αντιμεταθέσεις του S_n. Τότε ο αριθμός Τ(τ₁τ₂ … τ_2mσ) – Τ(σ) είναι άρτιος και ο Τ(τ₁τ₂ … τ_2m+1σ) – Τ(σ) περιττός.

Θεώρημα 13.3. Μια μετάθεση δεν μπορεί να είναι και περιττή και άρτια.

Η εναλλάσσουσα ομάδα Α_n αποτελείται από όλες τις άρτιες μεταθέσεις της S_n. Είναι όντως ομάδα :

Θεώρημα 13.4. Η Α_n είναι υποομάδα της S_n.

Θεώρημα 13.5. Η Α_n αποτελείται από n! στοιχεία.

Απόδειξη. (S_n : A_n) = 2.

13.1. Πότε είναι άρτιος ένας κύκλος μήκους m;

Λύση

Στις επόμενες 4 ασκήσεις, βρείτε όλες τις τροχιές της σ, γράψτε την ως γινόμενο ξένων κύκλων, γράψτε την ως γινόμενο αντιμεταθέσεων, και προσδιορίστε αν είναι άρτια ή περιττή.

13.2. σ είναι το μέλος της S₃ που στέλνει τους 1, 2, 3 στους 3, 1, 2, αντίστοιχα.

Λύση

13.3. σ είναι το μέλος της S₄ που στέλνει τους 1, 2, 3, 4 στους 4, 3, 2, 1, αντίστοιχα.

Λύση

13.4. σ είναι το μέλος της S₈ που στέλνει τους 1, 2, … , 8 στους 4, 3, 8, 5, 1, 7, 6, 2, αντίστοιχα.

Λύση

13.5. σ είναι το μέλος της S₈ που στέλνει τους 1, 2, … , 8 στους 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, αντίστοιχα.

Λύση

13.6. Στην S₉, να εκφράσετε την (1, 2, 3, 6)(1, 5, 4)(3, 4, 7, 8)(8, 9, 2, 3) ως γινόμενο ξένων κύκλων.

Λύση

13.7. Γράψτε την (1, 2, 3, …, 2n+1)² ως γινόμενο ξένων κύκλων.

Λύση

13.8. Δώστε όλα τα στοιχεία της Α₃.

Λύση

13.9. Δώστε όλα τα στοιχεία της Α₄. Είναι αβελιανή;

Λύση

13.10. Δώστε δύο μη ισομορφικές υποομάδες της S₄ τάξεως 4.

Λύση

13.11. Γιατί στο κεφάλαιο 13 υποθέτουμε n ³ 2;