S : (x, 0) = (0, 0) } = { x
S : x = 0 } = { 0 }.19.8. Η φ είναι ομομορφισμός: Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της + στο γινόμενο,
φ(x1 + x2) = (x1 + x2, 0) = (x1, 0) + (x2, 0) = φ(x1) + φ(x2).
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του . στο γινόμενο,
φ(x1 . x2) = (x1 . x2, 0) = (x1, 0) . (x2, 0) = φ(x1) . φ(x2).
Τώρα, Kerφ = { x
S : (x, 0) = (0, 0) } = { x
S : x = 0 } = { 0 }.
Από το θεώρημα 19.7, η φ είναι μονομορφισμός.
Οχι. Αντιπαράδειγμα: S = T = Z, οπότε μοναδιαίο στοιχείο του γινομένου
είναι το (1, 1) και όχι το φ(1) = (1, 0).