Λύση

Αν $f(0) = 0$ ή $f(1) = 1$ τότε το ζητούμενο σημείο θα είναι κάποιο από αυτά. 'Εστω δεν συμβαίνει τίποτε από τα δύο αυτά. Τότε, λόγω της υπόθεσης θα έχουμε $f(0) > 0$ και $f(1) < 1.$ Θεωρούμε τη συνάρτηση

$$g(x) = f(x) - x.$$

Η $g(x)$ είναι συνεχής στο $[0,1]$ αφού η $f$ και η ταυτοτική συνάρτηση είναι συνεχείς συναρτήσεις στο $[0,1]$. Επίσης $g(0) = f(0) > 0$ και $g(1) = f(1) - 1 < 0.$ ’ρα οι προ"υποθέσεις του θεωρήματος της ενδιάμεσης τιμής ικανοποιούνται και άρα υπάρχει $x_0 \in (0,1),$ τέτοιο ώστε $f(x_0) = x_0.$ Συνδιάζοντας τα προηγούμενα έχουμε το ζητούμενο.

'Ασκηση 8 Υπόδειξη